مسابقة دكتوراه 2018 — Université Dr Moulay Tahar - Saïda — الموضوع 01

Soient $D$ le disque unité ouvert de $\mathbb{R}^2$, $g$ une fonction continue sur le bord $\partial D$, $\Delta$ l'opérateur Laplacien, et $\eta$ le vecteur normal (à $\partial D$) unitaire dirigé (orienté) vers l'extérieur du disque $D$ en chaque point de $\partial D$. Considérons le problème de Neumann

$$(PN) \begin{cases} \Delta u(x, y) = \dfrac{1 + xy}{1 + x^2 + y^2}; & \text{dans } D, \\ \dfrac{\partial u}{\partial \eta} = g; & \text{sur } \partial D, \end{cases}$$

où $u : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto u(x, y) \in \mathbb{R}$.

(1) Étudier l'unicité de la solution du problème $(PN)$.

(2) Rappeler quelques méthodes de résolutions du problème $(PN)$.

Considérons le problème des ondes suivant :

$$(P) \begin{cases} u_{tt}(t, x) - 2u_{xx}(t, x) = 0; & t \ge 0,\ x \ge 0, \\ u(0, x) = \phi(x); & x \ge 0, \\ u_t(0, x) = \psi(x); & x \ge 0, \end{cases}$$

où $\phi \in C^2$ et $\psi \in C^1$. Ici $u_t := \dfrac{\partial}{\partial t}$, $u_{tt} := \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}$ et $u_{tx} := \dfrac{\partial^2}{\partial t \partial x}$.

(1) Trouver toutes les solutions de l'EDP

$$u_{tt}(t, x) = 2u_{xx}(t, x); \quad t \ge 0,\ x \in \mathbb{R}.$$

(2) Montrer que le problème $(P)$ est mal posé.

(3) Trouver toutes les solutions du problème $(P)$.

(4) Montrer que le problème suivant

$$(P_1) \begin{cases} u_{tt}(t, x) - 2u_{xx}(t, x) = 0; & t \ge 0,\ x \ge 0, \\ u(0, x) = 1 + x; & x \ge 0, \\ u_t(0, x) = e^x; & x \ge 0, \\ u(t, 0) = 0; & t \ge 0, \end{cases}$$

est bien posé. Résoudre le problème $(P_1)$.

Considérons l'EDP du second ordre suivante :

$$(Ep) \quad x^2 u_{xx}(x, y) - 2xy\,u_{xy}(x, y) + y^2 u_{yy}(x, y) - u_x(x, y) = 0,$$

où $u : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Ici $u_{xx} := \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}$ et $u_{xy} := \dfrac{\partial^2}{\partial x \partial y}$.

(1) Montrer que l'EDP $(Ep)$ est parabolique sur tout le plan $\mathbb{R}^2$.

(2) Montrer que la courbe caractéristique par rapport à l'EDP $(Ep)$ est d'équation $xy = c^{te}$.

(3) Vérifier que le changement de variable $\xi(x, y) = xy$, $\eta(x, y) = x$ est régulier.

(4) Trouver l'équation réduite de l'EDP $(Ep)$.