مسابقة دكتوراه 2018 — Université Mustapha Stambouli - Mascara — الموضوع 01

1. Soit $f$ une fonction complexe définie par $f(z) = \sin z$.

1.1 Calculer $|f(z)|$ où $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$.

1.2 Déduire les nombres complexes $z = x + iy$ tels que $f(z) = 0$.

1.3 Calculer les déterminations principales des logarithmes complexes suivantes :

$$\log(-1), \quad \log(1 + i).$$

2. Soient la fonction complexe $g(z) = \dfrac{1}{z}$ et $\gamma$ le cercle unitaire de centre $0$.

2.1 Montrer que la fonction $g$ est analytique sur $\mathbb{C} - \{0\}$.

2.2 Calculer le long du chemin $\gamma$ : $\displaystyle\int_\gamma g(z)\,dz$.

Soit $(E, d)$ un espace métrique compact, on note $C(E)$ l'espace des fonctions continues de $E$ dans $\mathbb{R}$. Pour $f, g \in C(E)$, on pose :

$$D(f, g) = \sup_{x \in E} |f(x) - g(x)|.$$

1. Montrer que $D(f, g)$ est bien définie quelle que soit $f, g \in C(E)$.

2. Montrer que $D$ définit une distance sur $C(E)$.

3. Pour tout $a \in E$ on appelle $d_a$ la fonction de $E$ dans $\mathbb{R}$ définie par $d_a(x) = d(a, x)$. Montrer que l'application qui associe $d_a$ à $a$ est une isométrie de $(E, d)$ dans $(C(E), D)$.

4. Montrer que $C(E)$ est complet.

5. Montrer que $C(E)$ est connexe par arcs.

Soit $(A, +, \cdot)$ un anneau unitaire avec l'élément unité de la multiplication $1$. Un élément $x$ est dit nilpotent s'il existe un entier naturel $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $x^k = 0$. Deux éléments $x$ et $y$ sont dits permutables si $xy = yx$.

1. Montrer que, si $x \in A$ est nilpotent alors $1 - x$ est inversible.

2. Soient $x$ et $y$ deux éléments permutables de $A$.

(a) Montrer que, si $x$ ou $y$ est nilpotent alors $xy$ l'est aussi.

(b) Montrer que, si $x$ et $y$ sont nilpotents alors $x + y$ l'est aussi.