مسابقة دكتوراه 2022 — Université de Sidi Bel Abbès

Soit $q : (0, +\infty) \to \mathbb{C}$ une fonction continue telle que $w_0 = \displaystyle\sup_{x > 0}(\operatorname{Re} q(x)) < \infty$. On définit sur l'espace $L^1(0, \infty)$ la famille d'opérateurs $(T_q(t))_{t \geq 0}$ par

$$(T_q(t)f)(x) = e^{tq(x)} f(x), \quad x > 0, \; t \geq 0.$$

1. Montrer que $(T_q(t))_{t \geq 0}$ est une famille d'opérateurs linéaires bornés.

2. Montrer que $(T_q(t))_{t \geq 0}$ est un $C_0$-semi-groupe sur $L^1(0, \infty)$.

Soient $\Omega = ]-1, 1[ \times ]-1, 1[$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^2$ et $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ la fonction définie par

$$f(x, y) = (\max(|x|, |y|), 0).$$

Montrer que le degré de $f$ en 0 relativement à $\Omega$, $\deg(f, 0, \Omega)$ est nul.

Soient $X = C([0, 1], \mathbb{R})$ l'espace des fonctions continues muni de la norme de la convergence uniforme et $A : D(A) \subset X \to X$ l'opérateur défini par $Af = f'$ et

$$D(A) = \{f \in C^1([0, 1]) : f(1) = 0\}.$$

1. Montrer que $A$ est fermé.

2. Montrer que $D(A)$ n'est pas dense dans $X$.

3. Montrer que $\rho(A) = \mathbb{C}$, où $\rho(A)$ désigne l'ensemble résolvant de $A$.

4. En déduire que pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$ avec $\operatorname{Re} \lambda > 0$ on a $\|R(\lambda, A)\| \leq \dfrac{1}{\operatorname{Re} \lambda}$.

Soit $A : D(A) \subset E \longrightarrow E$ un opérateur fermé avec $\overline{D(A)} = E$. On définit la norme du graphe par

$$\|x\|_A = \|x\|_E + \|Ax\|_E.$$

Montrer que $(D(A), \|\cdot\|_A)$ est un espace de Banach.