مسابقة دكتوراه 2022 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila

Soit $a>0$ et $f:[-a,a]\to\mathbb{R}$ une fonction continue. Supposons qu'il existe $c>0$ telle que

$$\forall x\in[-a,a]:\ |f(x)|\leq c|x|.$$

1. Pour $x\in[-a,a]$ et $n\in\mathbb{N}$, on pose $u_n(x)=xq^n$ tel que $q\in\,]-1,1[$.

   i) Démontrer que la suite de fonctions $u_n$ converge uniformément vers 0.

On considère l'équation différentielle suivante sur $]0,+\infty[$ :

$$x^2y''+(4x-x^2)y'+(2-2x)y=0.\qquad(1)$$

On pose :

$$Y(x)=\begin{vmatrix} y & -x^2 \\ y' & 2x \end{vmatrix}.$$

1. Calculer $Y'(x)$ pour tout $x>0$.

2. Montrer que $Y$ est une solution d'une équation.

1. Soit

$$V=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}:a,b\in\mathbb{R}\right\}$$

un sous-ensemble de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ (l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients dans $\mathbb{R}$).

a) Montrer que $V$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice inversible.

1. Montrer que : $\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$,

$$P_{A^{-1}}(x)=\det(A^{-1})\cdot x^n(-1)^nP_A(x^{-1}),$$

où $P_A(x)$ et $P_{A^{-1}}(x)$ sont les polynômes caractéristiques de $A$ et $A^{-1}$ respectivement.