مسابقة دكتوراه 2022 — Université Oran 1

Soient $H$ un espace de Hilbert, $A \in B(H)$ un opérateur borné et $I$ l'opérateur identité sur $H$. On dit que $A$ est inversible à gauche s'il existe $B \in B(H)$ tel que $BA = I$. On dit que $A$ est inversible à droite s'il existe $C \in B(H)$ tel que $AC = I$.

1. Montrer que si $A$ possède un inverse à gauche $B$ et un inverse à droite $C$, alors $B = C$.

2. Donner un exemple d'un opérateur linéaire borné ayant un inverse à gauche mais ne possédant aucun inverse à droite.

3. Montrer que si $A \in B(H)$ et $\ker A = \ker A^*$, alors $A$ est inversible à droite si et seulement si $A$ est inversible.

Soit $C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ l'espace des fonctions réelles indéfiniment dérivables sur $\mathbb{R}$.

1. Soient $\alpha \in C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $T$ une distribution sur $\mathbb{R}$ (i.e., $T \in D'(\mathbb{R})$).

(a) On définit $\alpha T$ par : pour tout $\varphi \in D(\mathbb{R})$, $\langle \alpha T, \varphi \rangle = \langle T, \alpha \varphi \rangle$. Montrer que $\alpha T$ est une distribution.

(b) Montrer, au sens des distributions, que

$$\frac{d}{dx}(\alpha T) = \frac{d\alpha}{dx} T + \alpha \frac{dT}{dx}.$$

2. On cherche à résoudre l'équation $xT = 0$ dans $D'(\mathbb{R})$.

(a) Montrer que résoudre ce problème revient à trouver $T$ tel que, pour tout $\Phi$ de $D(\mathbb{R})$, $\Phi(0) = 0$ :

$$\langle T, \Phi \rangle = 0.$$

(b) En déduire que $T = c\delta$ où $c$ est une constante et $\delta$ est la distribution de Dirac.

On considère le problème de contrôle d'un mobile que nous voulons amener de manière optimale, dans un intervalle de temps $T > 0$, proche de la vitesse 0. La variable d'état $x(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix}$ suit l'évolution suivante :

$$(S) \quad \begin{cases} x_1'(t) = x_2(t) & \forall t \in [0, T], \\ x_2'(t) = -ax_2(t) + u(t) & \forall t \in [0, T], \\ x_1(0) = x_0, \quad x_2(0) = v_0. \end{cases}$$

Ici $x_1(t)$, $x_2(t)$ sont respectivement la position et la vitesse, $x_0, v_0 \in \mathbb{R}$ (position et vitesse initiales), $u(t)$ est l'accélération (le contrôle) et $a > 0$ est le coefficient de frottement. Le problème de contrôle optimal considéré s'écrit :

$$(P) \quad \begin{cases} \min \, J(x, u) := \dfrac{1}{2} \|u\|_U^2 + \dfrac{1}{2} \alpha (x_2(T))^2, \\ x \text{ solution de } (S), \\ u(t) \in U \text{ p.p. sur } [0, T], \end{cases}$$

avec $\alpha > 0$ et $U$ un sous-ensemble convexe fermé non vide de $\mathbb{R}$.

1. Écrire $(P)$ sous la forme $\displaystyle\min_{u \in U_{\text{ad}}} \mathcal{J}(u)$ en précisant $\mathcal{J}$ et $U_{\text{ad}}$ puis montrer qu'il admet une solution unique $\overline{u}(\cdot)$.

2. Donner le système d'optimalité caractérisant la solution en termes de l'Hamiltonien.

Dans la suite, on suppose qu'on n'a pas de contraintes sur le contrôle.

3. Résoudre le système d'optimalité et donner le contrôle optimal $\overline{u}(\cdot)$, la trajectoire associée $\overline{x}(\cdot)$, l'état adjoint $\overline{p}(\cdot)$ et le coût correspondant en fonction de $x_2(T)$ et de $\alpha$.

4. Calculer $x_2(T)$ et trouver la limite de $\overline{u}$ lorsque $\alpha \to +\infty$. Que représente cette limite.