مسابقة دكتوراه 2022 — Université Ferhat Abbas - Sétif 1

Soient $E$ un espace vectoriel et $u, v, f, g$ quatre endomorphismes de $E$ qui deux à deux commutent, et vérifient $u \circ f + v \circ g = Id_E$.

1. Montrer que : $\mathrm{Ker}\,f \cap \mathrm{Ker}\,g = \{0\}$ et $E = \mathrm{Im}\,f + \mathrm{Im}\,g$.

2. Montrer que : $\mathrm{Ker}(f \circ g) = \mathrm{Ker}\,f \oplus \mathrm{Ker}\,g$ et $\mathrm{Im}(f \circ g) = \mathrm{Im}\,f \cap \mathrm{Im}\,g$.

3. On suppose de plus que $f \circ g = 0$.

Montrer que : $E = \mathrm{Ker}\,f \oplus \mathrm{Ker}\,g = \mathrm{Im}\,f \oplus \mathrm{Im}\,g$, $\mathrm{Ker}\,f = \mathrm{Im}\,g$, $\mathrm{Ker}\,g = \mathrm{Im}\,f$.

Soient $a, b \in \mathbb{R}$ tel que $|a| \neq |b|$. On considère la matrice carrée de taille $2n$ suivante :

$A = \begin{pmatrix} a & b & a & b & \ldots \\ b & a & b & a & \ldots \\ a & b & a & b & \ldots \\ b & a & b & a & \ldots \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \end{pmatrix}$

1. Calculer le rang de $A$. En déduire que si $n > 1$, alors 0 est une valeur propre de $A$ et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.

2. Déterminer deux vecteurs propres associés à deux autres valeurs propres. En déduire que $A$ est diagonalisable.

Notons $\mathbb{R}[X]_d$ l'espace vectoriel des applications polynomiales de degré inférieur ou égal à $d$.

Dans ce qui suit les coordonnées seront relative à la base canonique $B_d$ de $\mathbb{R}[X]_d$.

1. Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}[X]_4$ dans $\mathbb{R}[X]_3$ qui à une application polynomiale $P$ associe sa dérivée $P'$.

a. Prouver que l'application $f$ est linéaire.

b. Donner la matrice de $f$ dans les bases $B_4$ et $B_3$.

2. Soit $g$ l'application linéaire de $\mathbb{R}[X]_3$ dans $\mathbb{R}[X]_4$ définie par : $g(P) = XP$.

Donner la matrice de $g$ dans les bases $B_3$ et $B_4$.

3. Donner la matrice de $g \circ f$ dans la base $B_4$.

4. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$. Discuter suivant la valeur de $\lambda$ la dimension du noyau de l'application linéaire $g \circ f - \lambda \, Id_{\mathbb{R}[X]_4}$.