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مسابقة دكتوراه 2025 — Université de Tamanghasset — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Numérique & Optimisation

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Concours d'accès à la formation de 3ème cycle (Doctorat LMD) — Filière Mathématiques Appliquées, Épreuve : Analyse numérique (22-02-2025)

التمرين 1

Méthode des trapèzes pour ln 2 (2, 4 et 8 sous-intervalles)

Soit l'intégrale I=∫12dxx.I=\int_{1}^{2}\frac{dx}{x}.

1. Utiliser la méthode du trapèze sur deux sous-intervalles de [1,2][1,2] pour calculer cette intégrale.

2. Même chose avec 4 sous-intervalles.

3. Même chose avec 8 sous-intervalles.

4. Comparer ces valeurs avec la valeur exacte, puis quelle conclusion en tirez-vous ?

Donner le résultat à 33 points décimales.

Remarque : le rapport d'erreurs ≈4\approx4 à chaque raffinement (h→h/2h\to h/2) est la signature de la convergence en O(h2)O(h^2) de la règle des trapèzes composée.

◀الحل

La valeur exacte est I=∫12dxx=ln⁡2≈0.693I=\int_1^2\frac{dx}{x}=\ln 2\approx 0.693. On pose f(x)=1/xf(x)=1/x et on applique la formule des trapèzes composée T=h2(f0+2∑i=1n−1fi+fn)T=\dfrac{h}{2}\big(f_0+2\textstyle\sum_{i=1}^{n-1}f_i+f_n\big), h=1nh=\dfrac{1}{n}.

1. n=2n=2 (h=0.5h=0.5)

Points 1, 1.5, 21,\ 1.5,\ 2 ; f=1, 0.6667, 0.5f=1,\ 0.6667,\ 0.5. T2=0.52(1+2(0.6667)+0.5)=0.25×2.8333≈0.708.T_2=\frac{0.5}{2}\big(1+2(0.6667)+0.5\big)=0.25\times2.8333\approx \boxed{0.708}.

2. n=4n=4 (h=0.25h=0.25)

Points 1,1.25,1.5,1.75,21,1.25,1.5,1.75,2 ; f=1, 0.8, 0.6667, 0.5714, 0.5f=1,\ 0.8,\ 0.6667,\ 0.5714,\ 0.5. T4=0.252(1+2(0.8+0.6667+0.5714)+0.5)=0.125×5.5762≈0.697.T_4=\frac{0.25}{2}\big(1+2(0.8+0.6667+0.5714)+0.5\big)=0.125\times5.5762\approx \boxed{0.697}.

3. n=8n=8 (h=0.125h=0.125)

Points 1,1.125,…,21,1.125,\dots,2 ; ∑i=17fi=4.8030\sum_{i=1}^{7}f_i=4.8030. T8=0.1252(1+2(4.8030)+0.5)=0.0625×11.1059≈0.694.T_8=\frac{0.125}{2}\big(1+2(4.8030)+0.5\big)=0.0625\times11.1059\approx \boxed{0.694}.

4. Comparaison et conclusion

| nn | TnT_n | Erreur ∣Tn−ln⁡2∣|T_n-\ln2| | |---|---|---| | 2 | 0.708 | 0.015 | | 4 | 0.697 | 0.004 | | 8 | 0.694 | 0.001 |

L'erreur est divisée par environ 44 quand on double nn : cela confirme que la méthode des trapèzes est d'ordre 2 (erreur en O(h2)O(h^2)). L'approximation converge vers ln⁡2≈0.693\ln2\approx0.693.

التمرين 2

Interpolation de Lagrange (degré ≤ 2) pour f(1.5)

Soit le tableau suivant :

xix_i1.01.31.61.92.2
f(xi)f(x_i)0.76510.62000.45540.28180.1103

Calculer les approximations de f(1.5)f(1.5) données par les différents polynômes de Lagrange de degrés ≤2\le 2.

Remarque : le choix des nœuds les plus proches et les plus centrés autour du point d'évaluation minimise l'erreur d'interpolation.

◀الحل

On interpole en x=1.5x=1.5 avec des polynômes de Lagrange de degré ≤2\le2.

Degré 1 (nœuds 1.3, 1.61.3,\ 1.6)

f(1.5)≈f(1.3)+1.5−1.31.6−1.3(f(1.6)−f(1.3))=0.6200+0.20.3(−0.1646)≈0.5103.f(1.5)\approx f(1.3)+\frac{1.5-1.3}{1.6-1.3}\big(f(1.6)-f(1.3)\big)=0.6200+\tfrac{0.2}{0.3}(-0.1646)\approx 0.5103.

Degré 2 (nœuds 1.3, 1.6, 1.91.3,\ 1.6,\ 1.9)

Coefficients de Lagrange en 1.51.5 : L0=(−0.1)(−0.4)(−0.3)(−0.6)=0.2222L_0=\tfrac{(-0.1)(-0.4)}{(-0.3)(-0.6)}=0.2222, L1=(0.2)(−0.4)(0.3)(−0.3)=0.8889L_1=\tfrac{(0.2)(-0.4)}{(0.3)(-0.3)}=0.8889, L2=(0.2)(−0.1)(0.6)(0.3)=−0.1111L_2=\tfrac{(0.2)(-0.1)}{(0.6)(0.3)}=-0.1111. f(1.5)≈0.2222(0.6200)+0.8889(0.4554)−0.1111(0.2818)≈0.5113.f(1.5)\approx 0.2222(0.6200)+0.8889(0.4554)-0.1111(0.2818)\approx \boxed{0.5113}.

Degré 2 (nœuds 1.0, 1.3, 1.61.0,\ 1.3,\ 1.6)

L0=−0.1111, L1=0.5556, L2=0.5556L_0=-0.1111,\ L_1=0.5556,\ L_2=0.5556 : f(1.5)≈−0.1111(0.7651)+0.5556(0.6200)+0.5556(0.4554)≈0.5124.f(1.5)\approx -0.1111(0.7651)+0.5556(0.6200)+0.5556(0.4554)\approx 0.5124.

Conclusion

Les polynômes quadratiques centrés autour de 1.51.5 donnent f(1.5)≈0.5113f(1.5)\approx0.5113 – 0.51240.5124. La valeur retenue (nœuds les plus centrés 1.3,1.6,1.91.3,1.6,1.9) est f(1.5)≈0.511.\boxed{f(1.5)\approx 0.511.} (Les données sont celles de J0J_0 ; la valeur « exacte » J0(1.5)≈0.5118J_0(1.5)\approx0.5118.)

التمرين 3

Calcul de sin 31° par interpolation

Calculer sin⁡31∘\sin 31^{\circ} par interpolation.

Remarque : faute de tableau fourni, on utilise les valeurs de référence 30∘,45∘,60∘30^\circ,45^\circ,60^\circ ; une interpolation linéaire locale entre 30∘30^\circ et 45∘45^\circ donne déjà une bonne estimation.

◀الحل

On interpole à partir de valeurs connues du sinus. Prenons les angles de référence 30∘, 45∘, 60∘30^\circ,\ 45^\circ,\ 60^\circ : sin⁡30∘=0.5000,sin⁡45∘=0.7071,sin⁡60∘=0.8660.\sin30^\circ=0.5000,\quad \sin45^\circ=0.7071,\quad \sin60^\circ=0.8660.

Interpolation de Lagrange (degré 2) en x=31∘x=31^\circ

Coefficients : L0=(31−45)(31−60)(30−45)(30−60)=406450=0.9022,L_0=\frac{(31-45)(31-60)}{(30-45)(30-60)}=\frac{406}{450}=0.9022, L1=(31−30)(31−60)(45−30)(45−60)=−29−225=0.1289,L_1=\frac{(31-30)(31-60)}{(45-30)(45-60)}=\frac{-29}{-225}=0.1289, L2=(31−30)(31−45)(60−30)(60−45)=−14450=−0.0311.L_2=\frac{(31-30)(31-45)}{(60-30)(60-45)}=\frac{-14}{450}=-0.0311. Donc sin⁡31∘≈0.9022(0.5)+0.1289(0.7071)−0.0311(0.8660)≈0.5153.\sin31^\circ\approx0.9022(0.5)+0.1289(0.7071)-0.0311(0.8660)\approx \boxed{0.5153}.

Vérification

La valeur exacte est sin⁡31∘≈0.5150\sin31^\circ\approx0.5150 : l'erreur est d'environ 3×10−43\times10^{-4}.

Variante linéaire (nœuds 30∘,45∘30^\circ,45^\circ) : sin⁡31∘≈0.5+115(0.7071−0.5)≈0.5138\sin31^\circ\approx0.5+\tfrac{1}{15}(0.7071-0.5)\approx0.5138 (moins précise).

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