مسابقة دكتوراه 2019 — Université des Sciences et de la Technologie d'Oran (USTO) — الموضوع 01

Soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique sur $\mathbb{R}$ telle que $f(x) = |x|$ si $|x| \leq \pi$.

1. Déterminer la série de Fourier de $f$.

2. Calculer $\int_{-\pi}^{\pi} |x|^2 dx$. En déduire la valeur de $\sum_{p=0}^{\infty} \frac{1}{(2p+1)^4}$.

3. Calculer $\sum_{p=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$.

4. Montrer que $|x| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{p=0}^{\infty} \frac{\cos(2p+1)x}{(2p+1)^2}$. En déduire les valeurs de $\sum_{p=0}^{\infty} \frac{1}{(2p+1)^2}$ puis $\sum_{p=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$.

On veut exprimer les équations de Cauchy-Riemann avec les coordonnées polaires $r$ et $\theta$. Les équations de Cauchy-Riemann peuvent s'écrire sous la forme :

$\left(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y}\right)F = 0$

donc il s'agit d'exprimer $\frac{\partial}{\partial x}$ et $\frac{\partial}{\partial y}$ en fonction de $\frac{\partial}{\partial r}$ et de $\frac{\partial}{\partial \theta}$. Lorsque l'on travaille sur un ouvert (ne contenant pas l'origine) sur lequel une détermination continue de l'argument $\theta$ est possible (par exemple sur $\Omega = \mathbb{C}] - \infty, 0]$). Montrer :

$\frac{\partial}{\partial r} = \cos(\theta)\frac{\partial}{\partial x} + \sin(\theta)\frac{\partial}{\partial y}$

$\frac{\partial}{\partial \theta} = -r\sin(\theta)\frac{\partial}{\partial x} + r\cos(\theta)\frac{\partial}{\partial y}$

En déduire $\frac{\partial}{\partial x} = \cos(\theta)\frac{\partial}{\partial r} - \sin(\theta)\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}$ et $\frac{\partial}{\partial y} = \sin(\theta)\frac{\partial}{\partial r} + \cos(\theta)\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}$. Montrer alors :

$\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y} = e^{i\theta}\left(\frac{\partial}{\partial r} + i\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right) = e^{i\theta}\frac{1}{r}\left(r\frac{\partial}{\partial r} + i\frac{\partial}{\partial \theta}\right)$

En déduire qu'en coordonnées polaires les équations de Cauchy-Riemann peuvent s'écrire (en particulier) sous la forme :

$\frac{\partial F}{\partial \theta} = ir\frac{\partial F}{\partial r}$