مسابقة دكتوراه 2022 — Université des Sciences et de la Technologie d'Oran (USTO) — الموضوع 03

Soit l'intégrale généralisée dépendant du paramètre $x \in \mathbb{R}$,

$$F(x) = \int_0^{+\infty} f(t,x) \, dt,$$

avec $f(t,x) = \dfrac{\cos(tx)}{1+t^2}$.

1. a- Montrer que cette intégrale existe pour tout $x \in \mathbb{R}$, c'est-à-dire que $F$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

b- Montrer que $F$ est bornée et continue sur $\mathbb{R}$.

2. Vérifier que $F$ est paire et calculer $F(0)$.

3. Montrer que pour $x > 0$, on a

$$F(x) = xG(x),$$

où $G(x)$ est donnée par

$$G(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\cos(u)}{u^2 + x^2} \, du.$$

4. Montrer que $G$ est deux fois dérivable sur $]0, +\infty[$ et exprimer $G'(x)$ et $G''(x)$ sous forme d'intégrales généralisées dépendant du paramètre $x \in ]0, +\infty[$.

5. Déduire que $F$ est deux fois dérivable sur $]0, +\infty[$ et que sa dérivée seconde est donnée par

$$F''(x) = x \int_0^{+\infty} \frac{(2x^2 - 6u^2)\cos(u)}{(u^2 + x^2)^3} \, du.$$

Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie tel que

$$(f - 2I_d)(f - 3I_d) = 0$$

avec $(f \neq 2I_d$ et $f \neq 3I_d)$.

1. Trouver les valeurs propres de $f$.

2. Montrer que $f$ est diagonalisable.

1. Soit $D \subseteq \mathbb{C}$ un domaine convexe et $f : D \to \mathbb{C}$ une fonction holomorphe telle que $|f'(z)| \leq M$ dans $D$. Montrer que pour tout $z_1, z_2$ dans $D$,

$$|f(z_2) - f(z_1)| \leq M|z_2 - z_1|.$$

2. Déterminer l'ordre de tous les zéros de la fonction $f(z) = 1 - \cos z$ en chacun de ses pôles.

3. Déterminer le résidu de la fonction rationnelle

$$f(z) = \frac{z}{(z-1)^2(z+1)}.$$

4. Soit $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ une fonction holomorphe. Montrer que la fonction $u(z) = f(\bar{z})$ est harmonique dans $\mathbb{C}$.

5. Obtenir la série de Laurent au point $1$ de la fonction

$$f(z) = \frac{e^z}{(z-1)^2}.$$