مسابقة دكتوراه 2013 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB)

التمرين 1

Norme subordonnée sur M_n(ℝ) et différentiabilité de M ↦ M³

#matrix-norm#submultiplicativity#frechet-derivative#matrix-function

Soit $E=M_n(\mathbb R)$ l'espace vectoriel sur $\mathbb R$ des matrices carrées d'ordre $n$ . Soit $\|\cdot\|$ une norme sur $\mathbb R^n$ . On définit l'application

Montrer que $N$ définit une norme sur $E$ .
Montrer que pour toutes matrices $M_1,M_2$ , on a $N(M_1M_2)\le N(M_1)N(M_2).$
Montrer que l'application $\Phi:E\to E,\qquad \Phi(M)=M^3$ est différentiable et donner la forme précise de sa différentielle en un point $M$ .

◀الحل

L'application $N$ est la norme subordonnée classique. La positivité, l'homogénéité et l'inégalité triangulaire découlent directement de celles de la norme de $\mathbb R^n$ . Si $N(M)=0$ , alors $Mx=0$ pour tout $x$ , donc $M=0$ .

Pour la sous-multiplicativité, $\|M_1M_2x\|\le N(M_1)\|M_2x\|\le N(M_1)N(M_2)\|x\|,$ d'où, en prenant le supremum en $x\ne0$ , $\boxed{N(M_1M_2)\le N(M_1)N(M_2).}$

Pour $\Phi(M)=M^3$ , on écrit $(M+H)^3-M^3=M^2H+MHM+HM^2+R(H),$ où le reste $R(H)$ est somme de termes d'ordre au moins 2 en $H$ . Grâce à la sous-multiplicativité, $N(R(H))\le C\,N(H)^2,$ ce qui montre la différentiabilité de Fréchet. Ainsi $\boxed{D\Phi(M)[H]=M^2H+MHM+HM^2.}$

التمرين 2

Série de Fourier Poissonienne, mesure de {x:|sin x|=1} et convergence dominée

#fourier-series#poisson-kernel#lebesgue-measure#dominated-convergence

Étant donnée une fonction $f$ continue et périodique de période $2\pi$ , on appelle coefficients de Fourier de $f$ les nombres

Étant donnée une suite $(a_n)_{n\in\mathbb Z}$ , on dit que la série $\sum_{n\in\mathbb Z}a_n$ est convergente si les séries $\sum_{n\ge0}a_n$ et $\sum_{n\ge1}a_{-n}$ le sont, et on pose

Dire pour quelles valeurs du couple $(t,x)\in\mathbb R_+^*\times\mathbb R$ la série $\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-|n|t}e^{inx}$ est convergente.
Pour $t>0$ , on définit

(a) Vérifier que $P(t,x)$ est réelle et calculer $\int_{-\pi}^{\pi}P(t,x)dx$ . (b) Vérifier que la fonction $P$ est indéfiniment dérivable. (c) Calculer $\partial_t^2P+\partial_x^2P$ . 3. Calculer les coefficients de Fourier de la fonction $P$ . 4. (A) Soit $f\in L^1(\mathbb R)$ . (1) Évaluer la mesure de Lebesgue de l'ensemble $E=\{x\in\mathbb R:|\sin x|=1\}$ . (2) Calculer

(B) Soit $\alpha\ge0$ . Pour tout $n\in\mathbb N^*$ et $x\in\mathbb R$ on pose

(1) Montrer que la suite $(f_{n,\alpha})$ tend uniformément vers 0 sur $\mathbb R$ lorsque $n\to\infty$ . (2) Étudier la limite de $\int_\mathbb R f_{n,\alpha}(x)dx$ pour $\alpha=0$ et $\alpha=1$ .

◀الحل

Pour $t>0$ , la série $\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-|n|t}e^{inx}$ est absolument convergente car $\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-|n|t}<\infty$ . Donc elle converge pour tout $x\in\mathbb R$ dès que $t>0$ .

On peut sommer explicitement : $P(t,x)=1+2\sum_{n\ge1}e^{-nt}\cos(nx)=\frac{1-e^{-2t}}{1-2e^{-t}\cos x+e^{-2t}},$ qui est bien réelle. L'intégrale sur une période vaut $\int_{-\pi}^{\pi}P(t,x)dx=2\pi,$ car seuls les coefficients de Fourier d'indice 0 contribuent.

La convergence normale des séries dérivées assure que $P\in C^\infty$ . En dérivant terme à terme, $\partial_t^2P=\sum_{n\in\mathbb Z}|n|^2e^{-|n|t}e^{inx},\qquad \partial_x^2P=\sum_{n\in\mathbb Z}(-n^2)e^{-|n|t}e^{inx},$ donc $\boxed{\partial_t^2P+\partial_x^2P=0.}$ Les coefficients de Fourier de $P$ sont donc simplement $\widehat P_t(n)=e^{-|n|t}.$

Pour $E=\{x:|\sin x|=1\}$ , on a $E=\left\{\frac\pi2+k\pi:k\in\mathbb Z\right\},$ ensemble dénombrable, donc de mesure nulle. Comme $|\sin x|<1$ presque partout, on a $(\sin x)^n\to0$ p.p. et $|f(x)(\sin x)^n|\le|f(x)|\in L^1$ , donc par convergence dominée, $\boxed{\lim_{n\to\infty}\int_\mathbb R f(x)(\sin x)^n dx=0.}$

Enfin, pour $f_{n,\alpha}(x)=e^{-\alpha|x|}\mathbf1_{[0,n^2]}(x)$ , la convergence uniforme vers 0 telle qu'écrite dans l'énoncé ne peut être vraie que si l'indicatrice est celle de $[n,n^2]$ ou similaire ; avec $[0,n^2]$ , on a $f_{n,\alpha}(0)=1$ . En restant fidèle au scan :

si $\alpha=0$ , alors $\int f_{n,0}=n^2\to+\infty$ ;
si $\alpha=1$ , alors $\int_\mathbb R f_{n,1}(x)dx=\int_0^{n^2}e^{-x}dx\to1.$