مسابقة دكتوراه 2016 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 01

A. 1.

Faux. L'irréductibilité seule ne suffit pas : une chaîne irréductible récurrente nulle ou transitoire ne possède aucune distribution stationnaire (exemple : la marche aléatoire simple symétrique sur $\mathbb{Z}$).

Affirmation correcte : une chaîne de Markov homogène irréductible et récurrente positive possède une unique distribution stationnaire. (Sur un espace d'états fini, l'irréductibilité suffit, car une chaîne finie irréductible est automatiquement récurrente positive.)

A. 2.

Vrai. S'il existe une unique classe récurrente positive vers laquelle mènent des états transitoires, la loi stationnaire est unique (portée par la classe récurrente) et attribue une masse nulle aux états transitoires.

Exemple : $0\to 1$ et $\{1,2\}$ classe récurrente positive ; l'état $0$ est transitoire et $\pi=(0,\pi_1,\pi_2)$ est l'unique loi stationnaire.

A. 3.

Vrai. Par la propriété de Markov (absence de mémoire) en temps continu, le temps de séjour $T_i$ dans un état $i$ non absorbant vérifie $P(T_i>s+u\mid T_i>s)=P(T_i>u)$ ; la seule loi continue sans mémoire étant l'exponentielle,

$T_i\sim\mathcal{E}(q_i),\qquad q_i=-q_{ii}\ \text{(taux total de sortie de l'état } i).$

A. 4.

Faux. Pour le processus stationnaire ($|\phi_1|<1$), $E[X_t]=m$ est constante. En prenant l'espérance de la relation et comme $E[\epsilon_t]=0$ :

$m=\phi_0+\phi_1 m \;\Longrightarrow\; \boxed{\,E[X_t]=\frac{\phi_0}{1-\phi_1}\,}$

et non $\phi_0+\phi_1$.

B. 1.

La tribu engendrée par $X$ est la plus petite sous-tribu de $\mathcal{F}$ rendant $X$ mesurable :

$\boxed{\ \sigma(X)=\{X^{-1}(B):B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}=X^{-1}\big(\mathcal{B}(\mathbb{R})\big).\ }$

B. 2.

Par indépendance de $X$ et $Y$, en conditionnant par $X=x$ et comme $Y\sim\mathcal{E}(\lambda)$ vérifie $P(Y>x)=e^{-\lambda x}$ pour $x\ge0$ (et $P(Y>x)=1$ pour $x<0$) :

$P(Y>X)=\int_{\mathbb{R}}P(Y>x)\,f_X(x)\,dx.$

Lorsque $X\ge0$ (variable positive, cadre de la transformée de Laplace),

$P(Y>X)=\int_{0}^{+\infty}e^{-\lambda x}f_X(x)\,dx=E\!\left[e^{-\lambda X}\right],$

c'est-à-dire

$\boxed{\ P(Y>X)=f_X^{*}(\lambda).\ }$

1.

Les arrivées forment un processus de Poisson de taux $\lambda$ ; à l'état $n$, chaque arrivée est acceptée avec probabilité $q_n$, indépendamment du reste. Par amincissement (thinning) d'un processus de Poisson, les arrivées effectivement admises forment, tant que le système est à l'état $n$, un processus de Poisson de taux $\lambda q_n$. Les services sont exponentiels de taux $\mu$. Grâce à l'absence de mémoire, $(X_t)$ est une chaîne de Markov à temps continu dont les seules transitions sont $n\to n+1$ et $n\to n-1$ : c'est un processus de naissance et de mort, de taux

$\boxed{\ \lambda_n=\lambda\,q_n\ (n\ge0),\qquad \mu_n=\mu\ (n\ge1),\qquad \mu_0=0.\ }$

2.

Pour un processus de naissance et de mort, la mesure stationnaire vérifie la balance détaillée $\lambda_{n-1}\pi_{n-1}=\mu_n\pi_n$, d'où

$\pi_n=\pi_0\prod_{k=1}^{n}\frac{\lambda_{k-1}}{\mu_k}=\pi_0\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^{n}\prod_{k=0}^{n-1}q_k.$

Le processus est récurrent positif si et seulement si $\sum_{n\ge0}\pi_n<\infty$. Le rapport de deux termes consécutifs est

$\frac{\pi_{n+1}}{\pi_n}=\frac{\lambda q_n}{\mu}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{\lambda q}{\mu}.$

Par la règle de d'Alembert, la série converge si et seulement si

$\boxed{\ \lambda\,q<\mu\qquad\Big(\text{c'est-à-dire } q<\tfrac{\mu}{\lambda}\Big).\ }$

3. a.

Avec $q_n=\dfrac{1}{n+1}$, on a $\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}q_k=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k+1}=\frac{1}{n!}$. En posant $\rho=\dfrac{\lambda}{\mu}$,

$\pi_n=\pi_0\,\frac{\rho^{n}}{n!}.$

La normalisation $\sum_{n\ge0}\pi_n=\pi_0\,e^{\rho}=1$ donne $\pi_0=e^{-\rho}$, d'où

$\boxed{\ \pi_n=e^{-\rho}\,\frac{\rho^{n}}{n!},\quad n\ge0,\qquad \rho=\frac{\lambda}{\mu}.\ }$

C'est une loi de Poisson de paramètre $\rho$. (Ici $q=\lim q_n=0<\mu/\lambda$ : le régime stationnaire existe toujours.)

3. b.

Le nombre moyen de clients est l'espérance d'une loi de Poisson de paramètre $\rho$ :

$\boxed{\ E[X_\infty]=\sum_{n\ge0}n\,\pi_n=\rho=\frac{\lambda}{\mu}.\ }$