مسابقة دكتوراه 2016 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 06

A.

1. Fausse. Une chaîne irréductible ne possède pas toujours de distribution stationnaire (cas transitoire ou récurrent nul sur un espace d'états infini). Affirmation correcte : une chaîne irréductible récurrente positive possède une unique distribution stationnaire (en particulier, toute chaîne finie irréductible).

2. Vraie. Si la chaîne ne possède qu'une seule classe récurrente (positive), la distribution stationnaire est unique et attribue une masse nulle aux états transitoires ; la chaîne peut donc parfaitement posséder des états transitoires. (Exemple : $1\leftrightarrow2$ récurrents et $3\to1$ transitoire.)

3. Vraie. Par la propriété d'absence de mémoire, le temps de séjour dans un état $i$ d'une chaîne de Markov à temps continu est exponentiel, de paramètre $-q_{ii}=\sum_{j\ne i}q_{ij}$.

4. Fausse. En prenant l'espérance : $E[X_t]=\varphi_0+\varphi_1 E[X_{t-1}]$, d'où par stationnarité $\boxed{E[X_t]=\frac{\varphi_0}{1-\varphi_1}}$ (et non $\varphi_0+\varphi_1$).

B.

1. La $\sigma$-algèbre engendrée par $X$ est $\sigma(X)=\big\{X^{-1}(B):B\in\mathcal B(\mathbb R)\big\}=\big\{\{\omega:X(\omega)\in B\}:B\in\mathcal B(\mathbb R)\big\},$ c'est-à-dire la plus petite sous-$\sigma$-algèbre de $\mathcal F$ rendant $X$ mesurable.

2. Comme $Y\sim\mathcal E(\lambda)$ est indépendante de $X$, on a $P(Y>x)=e^{-\lambda x}$ pour $x\ge0$. En conditionnant par $X$ : $P(Y>X)=E\big[P(Y>X\mid X)\big]=E\big[e^{-\lambda X}\big]=\int_0^{\infty}e^{-\lambda x}f_X(x)\,dx.$ $\boxed{P(Y>X)=f_X^{*}(\lambda)}$ c'est-à-dire la transformée de Laplace de $X$ évaluée au point $\lambda$.

1.

Le nombre de clients $X_t$ ne varie que par sauts de $\pm1$ : une arrivée (taux $\lambda$) qui décide de rester (probabilité $q_n$ dans l'état $n$) fait passer $n\to n+1$, et un service achevé (taux $\mu$) fait passer $n\to n-1$. Grâce à l'absence de mémoire des lois exponentielles et à l'indépendance globale, $(X_t)$ est un processus de naissance et de mort de taux $\boxed{\lambda_n=\lambda\,q_n\ \ (n\ge0),\qquad \mu_n=\mu\ \ (n\ge1).}$

2.

Pour un processus de naissance et de mort, on pose $\rho_n=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{\lambda_k}{\mu_{k+1}}=\Big(\frac{\lambda}{\mu}\Big)^{n}\prod_{k=0}^{n-1}q_k.$ La chaîne est récurrente positive si et seulement si $\sum_{n\ge0}\rho_n<\infty$. Comme $q_n\to q$, le critère de d'Alembert donne $\dfrac{\rho_{n+1}}{\rho_n}=\dfrac{\lambda}{\mu}\,q_n\to\dfrac{\lambda q}{\mu}$, d'où la condition $\boxed{\frac{\lambda q}{\mu}<1\quad\text{(i.e. } \lambda q<\mu\text{).}}$

3.a.

Avec $q_n=\dfrac{1}{n+1}$ : $\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}q_k=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k+1}=\frac{1}{n!}$. En posant $r=\dfrac{\lambda}{\mu}$, $\rho_n=\frac{1}{n!}\Big(\frac{\lambda}{\mu}\Big)^{n}=\frac{r^{n}}{n!},\qquad \sum_{n\ge0}\rho_n=e^{r}<\infty.$ (Ici $q=\lim q_n=0$, la chaîne est donc toujours récurrente positive.) La distribution stationnaire $\pi_n=\rho_n/\sum_k\rho_k$ vaut $\boxed{\pi_n=e^{-\lambda/\mu}\,\frac{(\lambda/\mu)^{n}}{n!},\quad n\ge0,}$ c'est-à-dire une loi de Poisson de paramètre $r=\lambda/\mu$.

3.b.

Le nombre moyen de clients en régime stationnaire est l'espérance d'une loi de Poisson$(\lambda/\mu)$ : $\boxed{E[X]=\frac{\lambda}{\mu}.}$

A.1.

Un processus de comptage $\{N(t),\ t\ge0\}$ est un processus de Poisson de taux $\lambda>0$ si :

• $N(0)=0$ ;
• il est à accroissements indépendants ;
• pour tous $0\le s<t$, $N(t)-N(s)\sim\mathcal P\big(\lambda(t-s)\big)$ (accroissements stationnaires suivant une loi de Poisson).

A.2.

Pour $s<t$, $N(t)-N(s)=[N_1(t)-N_1(s)]+[N_2(t)-N_2(s)]$ est la somme de deux v.a. indépendantes de lois $\mathcal P(\lambda_1(t-s))$ et $\mathcal P(\lambda_2(t-s))$, donc $N(t)-N(s)\sim\mathcal P\big((\lambda_1+\lambda_2)(t-s)\big)$. Comme $N(0)=0$ et que l'indépendance et la stationnarité des accroissements se conservent par addition de processus indépendants, $\{N(t)\}$ est un processus de Poisson de taux $\lambda_1+\lambda_2$. (On peut aussi le voir par les fonctions génératrices : $E[z^{N(t)}]=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t(1-z)}$.)

A.3.a.

Les deux produits étant substituables, le stock total $Q_1+Q_2$ diminue d'une unité à chaque arrivée, quel que soit le produit demandé. Les arrivées forment le processus mélange, de taux $\lambda_1+\lambda_2$. Le temps d'épuisement total $T$ est donc la somme de $Q_1+Q_2$ interarrivées exponentielles i.i.d. de paramètre $\lambda_1+\lambda_2$ : il suit une loi Gamma (Erlang) $\boxed{f_T(t)=\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^{Q_1+Q_2}}{(Q_1+Q_2-1)!}\,t^{\,Q_1+Q_2-1}\,e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t},\quad t\ge0.}$

A.3.b.

À chaque arrivée, la demande concerne le produit 1 avec probabilité $p=\dfrac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}$ et le produit 2 avec $Q=\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}$. Le produit 1 s'épuise avant le produit 2 si, parmi les $Q_1+Q_2-1$ premières arrivées, on compte au moins $Q_1$ demandes du produit 1 : $\boxed{P(\text{produit 1 \u00e9puis\u00e9 avant 2})=\sum_{k=Q_1}^{Q_1+Q_2-1}\binom{Q_1+Q_2-1}{k}p^{k}\,Q^{\,Q_1+Q_2-1-k}.}$

B.1.

Par la formule de Wald (conditionnement sur $N(t)\sim\mathcal P(\lambda t)$, les $D_i$ i.i.d. de moyenne $\mu$ et indépendantes de $N$) : $E[X(t)]=E[N(t)]\,E[D_1]=\boxed{\lambda\mu t.}$

B.2.

En conditionnant sur $N(t)=n$ et par indépendance des $D_i$, $E\big[z^{X(t)}\mid N(t)=n\big]=A(z)^{n}$. D'où $R(z,t)=\sum_{n\ge0}A(z)^{n}\,e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{n}}{n!}=e^{-\lambda t}\,e^{\lambda t A(z)}=\boxed{e^{-\lambda t[1-A(z)]}.}$