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مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 06

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours national d'accès à la formation de troisième cycle (2016/2017) — Doctorat en Mathématiques Appliquées (15/10/2016) — Option : Probabilités et Équations Différentielles Stochastiques — Épreuve de Probabilités et Statistique (durée : 01h30), Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques.

التمرين 1

Exercice 1 — Inégalités de Markov (Lp) et Bienaymé-Tchebycheff

#probability#markov-inequality#chebyshev-inequality#lp-spaces

Exercice 1. (04 points)

  1. (2 pts) Soit XX une variable aléatoire LpL^p-intégrable, avec p≥1p\geq 1. Montrer que pour tout λ>0\lambda\gt 0 on a

P(∣X∣≥λ)≤E[∣X∣p]λp.P(|X|\geq\lambda) \leq \frac{E[|X|^p]}{\lambda^p}.

  1. (2 pts) Soit XX une variable aléatoire L2L^2-intégrable. Montrer que pour tout λ>0\lambda\gt 0 on a

P(∣X−E[X]∣≥λ)≤Var⁡(X)λ2.P(|X-E[X]|\geq\lambda) \leq \frac{\operatorname{Var}(X)}{\lambda^2}.

◀الحل

1.

E[∣X∣p]=∫∣x∣pdP≥∫∣x∣≥λ∣x∣pdP≥λpP(∣X∣≥λ)E[|X|^p]=\int|x|^p dP\geq\int_{|x|\geq\lambda}|x|^p dP\geq\lambda^p P(|X|\geq\lambda). Diviser par λp\lambda^p.

2.

Appliquer la question 1 avec p=2p=2 à la variable Y=X−E[X]Y=X-E[X] : P(∣Y∣≥λ)≤E[Y2]λ2=Var⁡(X)λ2P(|Y|\geq\lambda)\leq\frac{E[Y^2]}{\lambda^2}=\frac{\operatorname{Var}(X)}{\lambda^2}.

التمرين 2

Exercice 2 — Loi de Sn = somme de variables exponentielles

#probability#exponential-distribution#gamma-distribution#convolution

Exercice 2. (05 points)

Soit un espace de probabilité et (Xn)(X_n) une suite de variables aléatoires indépendantes. On suppose que chaque XnX_n suit la loi exponentielle de paramètre α\alpha. On définit pour tout n≥1n\geq 1 : Sn=∑k=1nXkS_n=\sum_{k=1}^n X_k et S0=0S_0=0.

  1. (3 pts) Montrer que pour tout n≥1n\geq 1, la loi de SnS_n est donnée par la densité

fn(x)={αnxn−1(n−1)!exp⁡(−αx)si x≥0 0sinon.f_n(x) = \begin{cases} \alpha^n\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}\exp(-\alpha x) & \text{si } x\geq 0 \\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}

  1. (2 pts) Pour n∈Nn\in\mathbb{N}, on note FnF_n la fonction de répartition de SnS_n. Donner une relation de récurrence liant FnF_n et Fn+1F_{n+1}.
◀الحل

1.

Par récurrence. Pour n=1n=1 : S1=X1∼E(α)S_1=X_1\sim\mathcal{E}(\alpha), f1(x)=αe−αxf_1(x)=\alpha e^{-\alpha x}. Pour le passage de nn à n+1n+1 : fn+1=fn∗f1f_{n+1}=f_n * f_1.

fn+1(x)=∫0xfn(t)αe−α(x−t)dt=αe−αx∫0xαntn−1(n−1)!dt=αn+1xnn!e−αxf_{n+1}(x)=\int_0^x f_n(t)\alpha e^{-\alpha(x-t)}dt=\alpha e^{-\alpha x}\int_0^x \frac{\alpha^n t^{n-1}}{(n-1)!}dt=\alpha^{n+1}\frac{x^n}{n!}e^{-\alpha x}. CQFD.

2.

Fn+1(x)=P(Sn+1≤x)=∫0xP(Sn≤x−t)αe−αtdt=∫0xFn(x−t)αe−αtdtF_{n+1}(x)=P(S_{n+1}\leq x)=\int_0^x P(S_n\leq x-t)\alpha e^{-\alpha t}dt=\int_0^x F_n(x-t)\alpha e^{-\alpha t}dt.

Ou de façon équivalente : Fn+1(x)=Fn(x)−fn(x)⋅1αF_{n+1}(x)=F_n(x)-f_n(x)\cdot\frac{1}{\alpha}... Plus précisément, par intégration par parties :

Fn+1(x)=Fn(x)−fn+1(x)/α⋅(n+1)(relation de reˊcurrence).F_{n+1}(x)=F_n(x)-f_{n+1}(x)/\alpha\cdot(n+1) \quad\text{(relation de récurrence)}.

التمرين 3

Exercice 3 — Minimum d'un échantillon exponentiel

#statistics#order-statistics#exponential-distribution#minimum

Exercice 3. (05 points)

Soit (X1,…,Xn)(X_1,\ldots,X_n) un échantillon, de taille n≥1n\geq 1, d'une population exponentielle de paramètre θ>0\theta\gt 0.

  1. (3 pts) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Y=min⁡1≤i≤nXiY=\min_{1\leq i\leq n}X_i.
  2. (2 pts) Pour n=2n=2, calculer la probabilité de l'évènement (Y=X1)(Y=X_1).
◀الحل

1.

P(Y>y)=P(min⁡Xi>y)=P(X1>y,…,Xn>y)=[e−θy]n=e−nθyP(Y\gt y)=P(\min X_i\gt y)=P(X_1\gt y,\ldots,X_n\gt y)=[e^{-\theta y}]^n=e^{-n\theta y}.

Donc Y∼E(nθ)Y\sim\mathcal{E}(n\theta).

Y∼E(nθ).\boxed{Y\sim\mathcal{E}(n\theta).}

2.

Pour n=2n=2 : P(Y=X1)=P(X1≤X2)=∫0+∞θe−θx1∫x1+∞θe−θx2dx2 dx1=∫0+∞θe−θx1e−θx1dx1=12P(Y=X_1)=P(X_1\leq X_2)=\int_0^{+\infty}\theta e^{-\theta x_1}\int_{x_1}^{+\infty}\theta e^{-\theta x_2}dx_2\,dx_1=\int_0^{+\infty}\theta e^{-\theta x_1}e^{-\theta x_1}dx_1=\frac{1}{2}.

P(Y=X1)=12.\boxed{P(Y=X_1)=\frac{1}{2}.}

التمرين 4

Exercice 4 — Non-convergence en probabilité via la fonction caractéristique

#probability#characteristic-function#convergence-in-probability#central-limit-theorem

Exercice 4. (06 points)

Soit X1,X2,…,XnX_1,X_2,\ldots,X_n une suite de v.a. réelles indépendantes définie par P(Xn=±n)=12P(X_n=\pm\sqrt{n})=\frac{1}{2}. On pose Sn=1n∑k=1nXkS_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k.

  1. (1 pt) Calculer l'espérance et la variance de SnS_n.
  2. (2 pts) Montrer que si SnS_n convergeait en probabilité vers 0 quand n→+∞n\to+\infty, alors pour tout tt, on aurait lim⁡n→∞E[eitSn]=1\lim_{n\to\infty}E[e^{itS_n}]=1.
  3. (3 pts) Calculer lim⁡n→∞E[eitSn]\lim_{n\to\infty}E[e^{itS_n}] et en déduire que SnS_n ne converge pas en probabilité vers 0 quand n→∞n\to\infty.
◀الحل

1.

E[Xk]=0E[X_k]=0, Var⁡(Xk)=k\operatorname{Var}(X_k)=k. E[Sn]=0E[S_n]=0, Var⁡(Sn)=1n2∑k=1nk=n+12\operatorname{Var}(S_n)=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k=\frac{n+1}{2}.

2.

Si Sn→P0S_n\xrightarrow{P}0, alors Sn→L0S_n\xrightarrow{\mathcal{L}}0, donc E[eitSn]→eit⋅0=1E[e^{itS_n}]\to e^{it\cdot 0}=1 par continuité de la fonction caractéristique.

3.

φSn(t)=∏k=1nφXk/n(t)=∏k=1ncos⁡ ⁣(tkn)\varphi_{S_n}(t)=\prod_{k=1}^n\varphi_{X_k/n}(t)=\prod_{k=1}^n\cos\!\left(\frac{t\sqrt{k}}{n}\right).

Pour tt fixé, log⁡φSn(t)=∑k=1nlog⁡cos⁡ ⁣(tkn)≈−t22n2∑k=1nk≈−t2(n+1)4n→−t24\log\varphi_{S_n}(t)=\sum_{k=1}^n\log\cos\!\left(\frac{t\sqrt{k}}{n}\right)\approx -\frac{t^2}{2n^2}\sum_{k=1}^n k\approx -\frac{t^2(n+1)}{4n}\to-\frac{t^2}{4}.

Donc lim⁡E[eitSn]=e−t2/4≠1\lim E[e^{itS_n}]=e^{-t^2/4}\neq 1 pour t≠0t\neq 0. On conclut que SnS_n ne converge pas en probabilité vers 0.

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