مسابقة دكتوراه 2017 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 05

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Cauchy, définie par sa fonction de répartition

Déterminer le max-domaine d'attraction auquel appartient $F$. Préciser les constantes de normalisation

ainsi que la loi limite du maximum renormalisé.

Indications :

et

Un composant essentiel au fonctionnement continu d'une machine est remplacé, à chaque panne, par un composant neuf identique au précédent. Le temps de remplacement est supposé négligeable et la durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

1. On suppose que le coût de chaque remplacement est égal à $b$ euros et que le taux d'actualisation est constant, égal à $a>0$. Calculer le coût total moyen actualisé des pannes.

2. On suppose que le coût actualisé d'une panne survenant à l'instant $t\ge0$ est donné par une fonction positive $g$ définie sur $\mathbb{R}_+$. Calculer le coût total moyen des pannes.

3. Retrouver le résultat de la question 1 en utilisant le résultat de la question 2.

N.B. L'exercice 1 doit être rédigé sur une feuille séparée.