مسابقة دكتوراه 2025 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 01

1. Compacité de $[0,1]$

$[0,1]$ est un fermé borné de $\mathbb{R}$, donc compact d'après le théorème de Heine–Borel.

Démonstration directe (Borel–Lebesgue). Soit $(U_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $[0,1]$ et $M=\{x\in[0,1]:\ [0,x]\ \text{est recouvert par un nombre fini de }U_i\}.$ $M$ est non vide ($0\in M$) et majoré par $1$ ; soit $s=\sup M$. Un ouvert $U_{i_0}$ contient $s$, donc contient $]s-\varepsilon,s+\varepsilon[$ ; on recouvre $[0,s-\varepsilon/2]$ par un nombre fini d'ouverts, auquel on ajoute $U_{i_0}$ : ainsi $s\in M$ et, si $s<1$, un point $>s$ est aussi dans $M$, contredisant $s=\sup M$. Donc $s=1\in M$ : $[0,1]$ est compact.

2. Compacité de $A$

Méthode 1 (fermé borné). $A\subset[0,1]$ est borné. Il est fermé : son seul point d'accumulation est $0$, qui appartient à $A$. Un fermé borné de $\mathbb{R}$ est compact.

Méthode 2 (recouvrements). Soit $(U_i)$ un recouvrement ouvert de $A$. Un ouvert $U_{i_0}$ contient $0$, donc contient $]-\varepsilon,\varepsilon[$ pour un $\varepsilon>0$ ; par conséquent $U_{i_0}$ contient tous les $\tfrac1n$ avec $n>\tfrac1\varepsilon$, c'est-à-dire tous sauf un nombre fini. Chacun des points restants $\tfrac1n$ (en nombre fini) est couvert par un $U_{i_n}$. La sous-famille finie $\{U_{i_0}\}\cup\{U_{i_n}\}$ recouvre $A$. Donc $A$ est compact.

1. $u$ est harmonique

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=e^x\cos y,\qquad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-e^x\cos y,$ donc $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0$ : $u$ est harmonique.

2. Conjuguée harmonique

Les équations de Cauchy–Riemann donnent $v_y=u_x=e^x\cos y$ et $v_x=-u_y=e^x\sin y$. En intégrant $v_y=e^x\cos y$ : $v=e^x\sin y+g(x)$ ; puis $v_x=e^x\sin y+g'(x)=e^x\sin y$ impose $g'=0$. Donc (à une constante près) $v(x,y)=e^x\sin y.$ Alors $f=u+iv=e^x(\cos y+i\sin y)=e^{x+iy}=e^{z}$, holomorphe sur $\mathbb{C}$.

3. $u^2-v^2$ harmonique

On a $f^2=e^{2z}$, holomorphe. Or $\operatorname{Re}(f^2)=\operatorname{Re}\big((u+iv)^2\big)=u^2-v^2.$ La partie réelle d'une fonction holomorphe est harmonique, donc $u^2-v^2=\operatorname{Re}(e^{2z})=e^{2x}\cos(2y)$ est harmonique.

$\boxed{v=e^x\sin y,\qquad u^2-v^2=e^{2x}\cos(2y)\ \text{harmonique.}}$

1. $A$ borné et sa norme

Pour $x=(x_n)\in H$ : $\|Ax\|^2=\sum_{n\ge1}\frac{|x_n|^2}{4^n}\le\frac14\sum_{n\ge1}|x_n|^2=\frac14\|x\|^2,$ car $\dfrac1{4^n}\le\dfrac14$. Donc $A$ est borné avec $\|A\|\le\tfrac12$. Pour $x=e_1=(1,0,0,\dots)$ : $Ae_1=\tfrac12 e_1$, donc $\|Ae_1\|=\tfrac12\|e_1\|$. Ainsi $\|A\|=\frac12.$

2. Compacité

Soit $A_N$ l'opérateur de rang fini défini par $A_N((x_n))=(x_1/2,\dots,x_N/2^N,0,0,\dots)$. Alors $\|A-A_N\|=\sup_{n>N}\frac1{2^n}=\frac1{2^{N+1}}\xrightarrow[N\to\infty]{}0.$ $A$ est limite en norme d'opérateurs de rang fini, donc compact.

3. Adjoint

Pour $x,y\in H$ : $\langle Ax,y\rangle=\sum_n\dfrac{x_n}{2^n}y_n=\sum_n x_n\dfrac{y_n}{2^n}=\langle x,Ay\rangle$. Donc $A^*=A$ : $A$ est auto-adjoint (opérateur diagonal réel).

4. Valeurs propres et spectre

Pour chaque $n$, $Ae_n=\dfrac1{2^n}e_n$ : chaque $\dfrac1{2^n}$ est valeur propre (vecteur propre $e_n$). Donc $\sigma_p(A)=\left\{\frac1{2^n}:\ n\ge1\right\}.$ Le spectre est fermé et contient $\sigma_p(A)$ ainsi que sa limite $0$ : $\sigma(A)=\left\{\frac1{2^n}:\ n\ge1\right\}\cup\{0\}.$

5. Spectre vs valeurs propres

$0\in\sigma(A)$ mais $0$ n'est pas valeur propre : $Ax=0$ impose $x_n/2^n=0$ pour tout $n$, donc $x=0$ ($A$ est injectif). Ainsi le spectre n'est pas réduit aux valeurs propres : $0$ appartient au spectre continu.

$\boxed{\sigma(A)=\{2^{-n}:n\ge1\}\cup\{0\},\quad 0\ \text{est dans le spectre mais n'est pas valeur propre.}}$