مسابقة دكتوراه 2025 — Université Mohamed El Bachir El Ibrahimi - Bordj Bou Arréridj — الموضوع 01

1. Relations entre les limites

En passant à la limite $n \to \infty$ dans les relations de récurrence (valables pour tout $n$, conséquences des formules d'addition $\sin((n+1)\alpha) = \sin(n\alpha)\cos\alpha + \cos(n\alpha)\sin\alpha$ et $\cos((n+1)\alpha) = \cos(n\alpha)\cos\alpha - \sin(n\alpha)\sin\alpha$), et en utilisant $u_n \to \ell_1$, $v_n \to \ell_2$ :

$\ell_1 = \ell_1\cos\alpha + \ell_2\sin\alpha, \qquad \ell_2 = \ell_2\cos\alpha - \ell_1\sin\alpha.$

De la première relation : $\ell_1(1-\cos\alpha) = \ell_2 \sin\alpha$. Comme $\alpha \in \,]0,\pi[$, on a $\sin\alpha \neq 0$, donc :

$\boxed{\ell_2 = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\,\ell_1.}$

De même, la seconde relation donne $\ell_2(1-\cos\alpha) = -\ell_1\sin\alpha$, soit :

$\boxed{\ell_1 = \frac{\cos\alpha - 1}{\sin\alpha}\,\ell_2 = -\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\,\ell_2.}$

2. $\ell_1 = \ell_2 = 0$

En substituant l'une dans l'autre : $\ell_1 = -\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\cdot\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\,\ell_1 = -\left(\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 \ell_1$.

Posons $k = \left(\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 \geq 0$. On obtient $\ell_1(1+k) = 0$, et comme $1 + k \geq 1 > 0$ :

$\boxed{\ell_1 = 0, \quad \text{puis } \ell_2 = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\cdot 0 = 0.}$

3. Contradiction et conclusion

Pour tout $n$, $u_n^2 + v_n^2 = \sin^2(n\alpha) + \cos^2(n\alpha) = 1$. En passant à la limite (les deux suites étant supposées convergentes) :

$\ell_1^2 + \ell_2^2 = 1.$

Or $\ell_1 = \ell_2 = 0$ donne $\ell_1^2+\ell_2^2 = 0 \neq 1$ : contradiction.

$\boxed{\text{Les suites } (u_n) = (\sin(n\alpha)) \text{ et } (v_n) = (\cos(n\alpha)) \text{ divergent pour tout } \alpha \in \,]0,\pi[.}$

1. Convergence simple

Pour $x = 0$ : $f_n(0) = 0$ pour tout $n$, la série converge (trivialement) vers $0$.

Pour $x > 0$ fixé : $f_n(x) = \dfrac{x}{\ln n} e^{-nx}$, et $e^{-nx} = o(1/n^2)$ (croissance comparée), donc $f_n(x) = o(1/n^2)$ : la série $\sum f_n(x)$ converge absolument pour tout $x \geq 0$.

$\boxed{\sum f_n \text{ converge simplement sur } [0,+\infty[.}$

2. Convergence normale sur $[a,+\infty[$ mais pas sur $[0,+\infty[$

Sur $[a, +\infty[$, $a>0$ : la fonction $x \mapsto xe^{-nx}$ est décroissante pour $x \geq 1/n$ ; pour $n$ assez grand ($1/n < a$), $\sup_{x\geq a} xe^{-nx} = ae^{-na}$. Donc $\sup_{x\geq a} f_n(x) = \dfrac{ae^{-na}}{\ln n}$, terme général d'une série convergente (décroissance géométrique domine) :

$\boxed{\sum f_n \text{ converge normalement sur } [a,+\infty[ \text{ pour tout } a>0.}$

Sur $[0,+\infty[$ : étudions $\sup_{x\geq0} f_n(x)$. La fonction $x \mapsto xe^{-nx}$ atteint son maximum en $x = 1/n$, valeur $\dfrac{1}{ne}$. Donc :

$\sup_{x\geq 0} f_n(x) = \frac{1}{en\ln n}.$

Or $\displaystyle\sum_{n\geq 2} \frac{1}{n\ln n}$ est une série de Bertrand divergente (critère de Bertrand avec exposant $1$ sur le log). Donc :

$\boxed{\sum f_n \text{ ne converge PAS normalement sur } [0,+\infty[.}$

3. Convergence uniforme sur $[0,+\infty[$

Soit $N \geq 2$ et $R_N(x) = \sum_{n>N} f_n(x)$. Comme $\ln n \geq \ln(N+1)$ pour $n > N$ :

$R_N(x) \leq \frac{1}{\ln(N+1)}\sum_{n>N} xe^{-nx} = \frac{1}{\ln(N+1)}\cdot x\cdot\frac{e^{-(N+1)x}}{1-e^{-x}}.$

Or $\dfrac{x}{1-e^{-x}} \leq \dfrac{x}{1-e^{-x}}$ est bornée au voisinage de $0$ (tend vers $1$) et pour $x$ grand $\dfrac{x}{1-e^{-x}}\sim x$ ; plus simplement, on majore $xe^{-(N+1)x/2}$ par une constante indépendante de $N$ (borné sur $[0,\infty[$ par $\frac{2}{e(N+1)}$), d'où :

$0 \leq R_N(x) \leq \frac{C}{\ln(N+1)} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0,$

uniformément en $x \geq 0$, où $C$ est une constante absolue. Donc :

$\boxed{\sum f_n \text{ converge uniformément sur } [0,+\infty[.}$

4. Continuité de $S$

Chaque $f_n$ est continue sur $[0,+\infty[$, et la convergence de $\sum f_n$ vers $S$ est uniforme sur $[0,+\infty[$ (question 3). Par le théorème de continuité des séries de fonctions uniformément convergentes :

$\boxed{S \text{ est continue sur } [0,+\infty[.}$

5. Classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$

Chaque $f_n$ est $C^1$ avec $f_n'(x) = \dfrac{(1-nx)e^{-nx}}{\ln n}$. Sur tout $[a,+\infty[$ avec $a>0$, un raisonnement analogue à la question 2 (majoration de $\sup_{x\geq a}|f_n'(x)|$ par une expression sommable en $n$, grâce à la décroissance exponentielle) montre que $\sum f_n'$ converge normalement sur $[a,+\infty[$. Par le théorème de dérivation terme à terme, $S$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ avec $S' = \sum f_n'$, et $S'$ est continue (même argument que 4.) :

$\boxed{S \in C^1(]0,+\infty[).}$

1. Continuité en $(0,0)$

En polaires, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ :

$|f(x,y)| = |r^2\cos\theta\sin\theta \cdot \ln(r^2)| \leq \frac{r^2}{2}\cdot 2|\ln r| = r^2|\ln r|.$

Or $r^2 \ln r \to 0$ quand $r \to 0^+$ (croissance comparée). Donc $f(x,y) \to 0 = f(0,0)$ quand $(x,y)\to(0,0)$ :

$\boxed{f \text{ est continue en } (0,0).}$

2. Dérivées partielles en $(0,0)$

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h\to0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{h\cdot0\cdot\ln(h^2) - 0}{h} = \lim_{h\to0} 0 = 0,$

et de même par symétrie :

$\boxed{\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0.}$

3. Différentiabilité en $(0,0)$

Il s'agit de montrer que $\dfrac{f(x,y) - f(0,0) - 0\cdot x - 0\cdot y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \dfrac{f(x,y)}{r} \to 0$ quand $r \to 0$. En polaires :

$\left|\frac{f(x,y)}{r}\right| = \left|\frac{r^2\cos\theta\sin\theta\ln(r^2)}{r}\right| \leq r\cdot|\ln(r^2)| = 2r|\ln r| \xrightarrow[r\to0]{} 0.$

$\boxed{f \text{ est différentiable en } (0,0), \text{ avec } df(0,0) = 0.}$

4. Classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$

Sur $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$, $f$ est produit/composée de fonctions $C^\infty$ (car $x^2+y^2 > 0$), donc $C^1$, avec :

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y\ln(x^2+y^2) + \frac{2x^2y}{x^2+y^2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x\ln(x^2+y^2) + \frac{2xy^2}{x^2+y^2}.$

Montrons que ces dérivées partielles sont continues en $(0,0)$ (avec valeur $0$ d'après 2.) : en polaires, $\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\right| \leq r|\ln(r^2)| + 2r \to 0$ quand $r \to 0$ (même majoration que précédemment, bornée par $|\cos\theta|,|\sin\theta|\le 1$). De même pour $\partial f/\partial y$. Donc les dérivées partielles sont continues sur $\mathbb{R}^2$ tout entier :

$\boxed{f \in C^1(\mathbb{R}^2).}$