مسابقة دكتوراه 2021 — جامعة جيلالي اليابس - سيدي بلعباس — الموضوع 01

Exercice 1. (10 points)

Une population constante $N$ est infectée par une épidémie, dont le modèle mathématique décrivant l'évolution des différents compartiments est donné par le système (1)–(2).

Le schéma décrivant ce phénomène (Figure 1) : les naissances entrent dans le compartiment $S$ ; le passage de $S$ vers $I$ se fait avec le taux d'infection $\beta$ ; le passage de $I$ vers $S$ (guérison) se fait avec le taux $\lambda$ ; chaque compartiment subit une mortalité de taux $d$.

Où $S$ désigne la densité des individus susceptibles, $I$ désigne la densité des individus infectieux, $d$ est le taux de mortalité, $\lambda$ est le taux de guérison, et $\beta$ est le taux d'infection. Le modèle est donné par le système d'équations différentielles suivant

$$S' = -\frac{\beta}{N} S I + (d+\lambda) I, \qquad t \in \mathbb{R}_+, \tag{1}$$ $$I' = \frac{\beta}{N} S I - (d+\lambda) I, \qquad t \in \mathbb{R}_+. \tag{2}$$

1. Quel est le type du modèle (1)–(2) ?
2. En déduire le taux de naissance de la population $N$.
3. Montrer que le système (1)–(2) admet une unique solution positive globale, pour toute condition initiale $N(0) \ge 0$, $I(0) \ge 0$.
4. Écrire l'équation différentielle (2) en fonction de $I$ et les paramètres du modèle.
5. Calculer $I$, et en déduire la limite de $I(t)$ quand $t$ tend vers l'infini.

Exercice 2. (6 points)

Soit $A : ]0, +\infty[ \to M_n(\mathbb{R})$ une application continue. On considère l'équation différentielle linéaire

$$x'(t) = A x(t), \qquad t \in ]0, +\infty[, \tag{3}$$

et on note $R(t, t_0)$ sa résolvante.

1. Montrer que $S(t, t_0) = R(t_0, t)^T$ est la résolvante de l'équation différentielle

$$z'(t) = -A(t)^T z(t).$$

2. Dans cette équation on choisit

$$A(t) = \begin{pmatrix} 2t + \frac{1}{t} & 0 & \frac{1}{t} - t \\ t - \frac{1}{t} & 3t & t - \frac{1}{t} \\ \frac{2}{t} - 2t & 0 & \frac{2}{t} + t \end{pmatrix}.$$

Montrer que $A(t)$ possède une base de vecteurs propres indépendante de $t$. En déduire la résolvante $R(t, t_0)$ de l'équation (3). 3. Résoudre à l'aide des questions précédentes le système

$$\begin{cases} x_1' = -(2t + \frac{1}{t}) x_1 + (\frac{1}{t} - t) x_2 + 2(t - \frac{1}{t}) x_3, \\ x_2' = -3t\, x_2, \\ x_3' = (t - \frac{1}{t}) x_1 + (\frac{1}{t} - t) x_2 - (\frac{2}{t} + t) x_3. \end{cases}$$

Exercice 3. (4 points)

On considère le schéma de Gear pour l'équation de la chaleur ($\mu > 0$)

$$\frac{\partial u}{\partial t} - \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0, \qquad t > 0,\ x \in \mathbb{R}.$$

On introduit le schéma suivant :

$$\frac{3 u_j^{n+1} - 4 u_j^n + u_j^{n-1}}{2 \Delta t} - \mu \frac{u_{j+1}^{n+1} - 2 u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}}{h^2} = 0, \qquad j \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N}. \tag{4}$$

Étudier par l'analyse de Von Neumann la stabilité en norme $L^2$ du schéma aux différences finies (4).