مسابقة دكتوراه 2022 — Université Djillali Liabès - Sidi Bel Abbès

Soit $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ un espace préhilbertien.

1) Soient $(x_n)_{n \geq 0}$ et $(y_n)_{n \geq 0}$ deux suites dans $B_E = \{x \in E \,;\, \|x\| \leq 1\}$ telles que

$$\lim_{n \to +\infty} \langle x_n, y_n \rangle = 1.$$

Montrer que l'on a :

$$\lim_{n \to +\infty} \|x_n - y_n\| = 0$$

2) Soient $z \in E$ et $(z_n)_{n \geq 0}$ une suite dans $E$ telle que

$$\lim_{n \to +\infty} \langle z_n, z \rangle = \langle z, z \rangle \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \|z_n\| = \|z\|.$$

Montrer que l'on a $\lim_{n \to +\infty} z_n = z$.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $f_n : I \longrightarrow \mathbb{R}$ une suite de fonctions. On pose $a_n = \sup_{x \in I} |f_n(x)|$.

1. Démontrer :

$$\left(\sum f_n\right) \text{ converge normalement } \Longleftrightarrow \left(\sum a_n\right) \text{ converge.}$$

2. On pose $I = \mathbb{R}$ et

$$f_n(x) = \frac{e^{-nx}}{(n+x)^2} \,; \quad n \geq 1$$

(a) Déterminer le domaine de convergence $\Delta$ de la série de fonctions $\displaystyle\left(\sum f_n\right)$

(b) En déduire le domaine de la convergence uniforme.

(c) On pose

$$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{(n+x)^2}$$

i. Montrer que $S$ est continue dans $[0, +\infty[$

ii. Montrer que $S$ est dérivable dans $[a, +\infty[$ ; $a > 0$

iii. $S$ est-elle dérivable en $x = 0$ ?

Soit la matrice

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

suivant la base canonique $(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})$ de $\mathbb{R}^3$. En admettant qu'il existe une matrice $B \in M_3(\mathbb{R})$ tel que $\exp B = A$

1. Donner les valeurs propres et les vecteurs propres de $A$ (sans calculer)

2. Montrer que $AB = BA$

3. En déduire que $(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})$ est une base de vecteurs propres de $B$

4. Déterminer $B$.