مسابقة دكتوراه 2021 — Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued — الموضوع 02

مسابقة عامة · الرياضيات · المعامل: 1 · المدة: 1سا 30د

Concours d'accès au doctorat 3ème cycle LMD 2020/2021 — Commun pour les trois spécialités de Mathématiques — Épreuve Analyse mathématique générale (Variante 2), Université Echahid Hamma Lakhdar d'El Oued, Faculté des Sciences Exactes, Département des Mathématiques — Date 6/03/2021 — Coefficient 01 — Durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Intégrale partielle et espace de Sobolev H¹

#sobolev-spaces#partial-integration#fubini#l2-space

Soit $u \in H^1(]0,1[ \times ]0,1[)$ . On définit $v(x) := \int_0^1 u(x,t) dt$ .

(3 pts) Montrer que $v \in L^2(]0,1[)$ .
(3 pts) Calculer la dérivée $\frac{dv}{dx}$ et déduire que $v \in H^1(]0,1[)$ .

◀الحل

1.

Par Cauchy-Schwarz et Fubini : $\int_0^1 |v(x)|^2 dx = \int_0^1 |\int_0^1 u(x,t)dt|^2 dx \leq \int_0^1 \int_0^1 |u(x,t)|^2 dt \, dx = \|u\|_{L^2}^2 \lt \infty$ .

Donc $v \in L^2(]0,1[)$ .

2.

Par dérivation sous le signe intégral (au sens des distributions) : pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(]0,1[)$ :

$\langle v', \varphi \rangle = -\int v\varphi' = -\int_0^1(\int_0^1 u(x,t)dt)\varphi'(x)dx = -\int_0^1\int_0^1 u(x,t)\varphi'(x)dxdt$

Par Fubini : $= \int_0^1(\int_0^1 \frac{\partial u}{\partial x}(x,t)\varphi(x)dx)dt = \int_0^1(\int_0^1 \frac{\partial u}{\partial x}(x,t)dt)\varphi(x)dx$ .

Donc $v'(x) = \int_0^1 \frac{\partial u}{\partial x}(x,t)dt$ et $\|v'\|_{L^2}^2 \leq \|\partial_x u\|_{L^2}^2 \lt \infty$ . Ainsi $v \in H^1(]0,1[)$ .

التمرين 2

Exercice 2 — Produit scalaire, linéarité et norme symétrique

#hilbert-space#inner-product#linearity#norm

Soit $H$ un espace de Hilbert réel avec $\langle \cdot, \cdot \rangle$ et $\|\cdot\|$ .

(2 pts) Montrer que si $\langle x, y \rangle = 0$ pour tout $y \in H$ , alors $x = 0$ .
(2 pts) Soit $u : H \to H$ telle que $\langle u(x), z \rangle = \langle x, u(z) \rangle$ , $\forall x, z \in H$ . Montrer que $u$ est linéaire.
(2 pts) Supposons $\|x\| = \|y\|$ . Montrer que pour tout $a, b \in \mathbb{R}$ : $\|ax + by\| = \|bx + ay\|$ .

◀الحل

1.

Prendre $y = x$ : $\langle x, x \rangle = \|x\|^2 = 0$ , donc $x = 0$ .

2.

$\langle u(\alpha x + \beta y), z \rangle = \langle \alpha x + \beta y, u(z) \rangle = \alpha\langle x, u(z) \rangle + \beta\langle y, u(z) \rangle = \alpha\langle u(x),z \rangle + \beta\langle u(y),z \rangle = \langle \alpha u(x) + \beta u(y), z \rangle$ .

Par la question 1, $u(\alpha x + \beta y) = \alpha u(x) + \beta u(y)$ .

3.

$\|ax+by\|^2 = a^2\|x\|^2 + 2ab\langle x,y \rangle + b^2\|y\|^2 = a^2\|y\|^2 + 2ab\langle x,y \rangle + b^2\|x\|^2 = \|bx+ay\|^2$

(car $\|x\| = \|y\|$ , donc $a^2\|x\|^2 + b^2\|y\|^2 = a^2\|y\|^2 + b^2\|x\|^2$ ).

التمرين 3

Exercice 3 — Injections compactes et interpolation de normes

#functional-analysis#compact-injection#banach-space#interpolation

Soient $E_1, E_2, E_3$ trois espaces de Banach tels que $E_1 \subset E_2 \subset E_3$ , l'injection $i : E_1 \to E_2$ étant compacte et $j : E_2 \to E_3$ continue.

(2 pts) Justifier que pour toute suite $(x_n)$ de la sphère unité de $E_1$ , il existe une sous-suite convergente dans $E_2$ .
(3 pts) Montrer que si $(n_k x_{n_k})$ est bornée dans $E_3$ , alors $x = 0$ .
(3 pts) Par l'absurde, déduire que pour tout $\varepsilon \gt 0$ , il existe $C_\varepsilon \gt 0$ tel que $\|x\|_2 \leq \varepsilon\|x\|_1 + C_\varepsilon\|x\|_3$ , $\forall x \in E_1$ .

◀الحل

1.

$\|x_n\|_1 \leq 1$ , donc $(x_n)$ est bornée dans $E_1$ . Comme $i : E_1 \to E_2$ est compacte, il existe une sous-suite $(x_{n_k})$ convergente dans $E_2$ .

2.

Si $(n_k x_{n_k})$ est bornée dans $E_3$ : $\|x_{n_k}\|_3 \leq M/n_k \to 0$ . Donc $x_{n_k} \to 0$ dans $E_3$ . Comme $j$ est continue et $x_{n_k} \to x$ dans $E_2$ , on a $x_{n_k} \to x$ dans $E_3$ aussi, donc $x = 0$ .

Mais $x_{n_k} \to x$ dans $E_2$ avec $\|x_{n_k}\|_2 \geq \varepsilon$ implique $\|x\|_2 \geq \varepsilon \gt 0$ . Contradiction avec $x = 0$ .

3.

Par l'absurde : il existe $\varepsilon \gt 0$ et $x_n$ avec $\|x_n\|_2 \gt \varepsilon\|x_n\|_1 + n\|x_n\|_3$ . En normalisant par $\|x_n\|_1$ , on pose $y_n = x_n/\|x_n\|_1$ . Alors $\|y_n\|_2 \gt \varepsilon + n\|y_n\|_3$ (*).

Par 1), il existe $y_{n_k} \to y$ dans $E_2$ . Par (), $n_k\|y_{n_k}\|_3 \lt \|y_{n_k}\|_2$ borné, donc $(n_k y_{n_k})$ est bornée dans $E_3$ . Par 2), $y = 0$ . Mais () implique $\|y_{n_k}\|_2 \gt \varepsilon$ , contradiction.

→←

→السابقConcours Doctorat 2021 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — Épreuve N°01 التاليConcours Doctorat 2021 — Université Mohamed Khider - Biskra — Épreuve N°02←