مسابقة دكتوراه 2023 — Université Kasdi Merbah - Ouargla — الموضوع 02

1. Existence de la projection

Posons $d=\inf_{z\in Z}\|x-z\|\ge0$ et choisissons une suite minimisante $(z_n)\subset Z$ telle que $\|x-z_n\|\to d$.

Bornitude. $\|z_n\|\le\|x\|+\|x-z_n\|$ est bornée (car $\|x-z_n\|\to d$). Comme $X$ est réflexif, toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente : $z_{n_k}\rightharpoonup y$.

$y\in Z$. $Z$ étant convexe et fermé (fortement), il est faiblement fermé (théorème de Mazur), donc la limite faible $y$ appartient à $Z$.

Minimalité. La norme est faiblement semi-continue inférieurement, donc $x-z_{n_k}\rightharpoonup x-y$ entraîne $\|x-y\|\le\liminf_k\|x-z_{n_k}\|=d.$ Comme $y\in Z$ donne aussi $\|x-y\|\ge d$, on conclut $\|x-y\|=d$.

2. Unicité en cas de stricte convexité

Supposons $y_1,y_2\in Z$ tels que $\|x-y_1\|=\|x-y_2\|=d$ avec $y_1\neq y_2$. Si $d=0$, alors $x=y_1=y_2$, contredisant $y_1\neq y_2$ ; donc $d>0$. Par convexité, $\tfrac{y_1+y_2}2\in Z$, d'où $d\le\Big\|x-\frac{y_1+y_2}2\Big\|=\Big\|\tfrac12(x-y_1)+\tfrac12(x-y_2)\Big\|.$ Posons $u=\dfrac{x-y_1}{d}$, $v=\dfrac{x-y_2}{d}$, de sorte que $\|u\|=\|v\|=1$ et $u\neq v$ (car $y_1\neq y_2$). La stricte convexité (avec $t=\tfrac12$) donne $\Big\|\tfrac12u+\tfrac12v\Big\|<1\ \Longrightarrow\ \Big\|x-\frac{y_1+y_2}2\Big\|=d\,\Big\|\tfrac12u+\tfrac12v\Big\|<d,$ ce qui contredit $\big\|x-\tfrac{y_1+y_2}2\big\|\ge d$. Donc $y_1=y_2$ : la projection est unique.

On utilise la normalisation isométrique de Plancherel ($\|\widehat\varphi\|_2=\|\varphi\|_2$) et la règle $\widehat{\partial_{x_j}\varphi}(y)=iy_j\,\widehat\varphi(y)$.

Partie I

1. $\widehat{\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x_1\partial x_2}}(y)=(iy_1)(iy_2)\widehat\varphi(y)=-y_1y_2\widehat\varphi(y)$. Par Plancherel, $\Big\|\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1\partial x_2}\Big\|_2=\|{-}y_1y_2\widehat\varphi\|_2=\|y_1y_2\widehat\varphi\|_2.$

2. $\widehat{\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}+\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x_2^2}}(y)=(iy_1)^2\widehat\varphi+(iy_2)^2\widehat\varphi=-(y_1^2+y_2^2)\widehat\varphi$, donc $\Big\|\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_2^2}\Big\|_2=\big\|(y_1^2+y_2^2)\widehat\varphi\big\|_2.$

3. Par l'inégalité arithmético-géométrique, $y_1^2+y_2^2\ge2|y_1y_2|$ pour tout $(y_1,y_2)$, donc ponctuellement $(y_1^2+y_2^2)|\widehat\varphi|\ge2|y_1y_2\widehat\varphi|$. En passant à la norme $L^2$ et en utilisant 1. et 2. : $\Big\|\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_2^2}\Big\|_2=\|(y_1^2+y_2^2)\widehat\varphi\|_2\ge2\|y_1y_2\widehat\varphi\|_2=2\Big\|\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_1\partial x_2}\Big\|_2.$

Partie II

1. En appliquant la transformée de Fourier à $LE=\delta_0$ : $\widehat{-E''+q^2E}=(\xi^2+q^2)\widehat E=\widehat{\delta_0}=1$, donc $\widehat E(\xi)=\frac1{\xi^2+q^2}.$ Or la transformée de $x\mapsto e^{-q|x|}$ est $\dfrac{2q}{\xi^2+q^2}$. Par transformée inverse, $\boxed{E(x)=\frac1{2q}\,e^{-q|x|}\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})}$ (en fait $E\in L^1\cap L^2$), et c'est une solution fondamentale de $L$.

2. Solution particulière. Pour $f\in L^2(\mathbb{R})$, comme $E\in L^1(\mathbb{R})$, la convolution $u_0=E*f$ est bien définie (et $u_0\in L^2$ par l'inégalité de Young), et $L(E*f)=(LE)*f=\delta_0*f=f.$ Solutions homogènes tempérées. $Lu=0$ donne $u(x)=Ae^{qx}+Be^{-qx}$ ; ces fonctions croissent exponentiellement et ne sont pas tempérées sauf si $A=B=0$. Donc la seule solution homogène dans $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ est $u=0$. Par conséquent la solution tempérée est unique : $\boxed{u(x)=(E*f)(x)=\frac1{2q}\int_{\mathbb{R}}e^{-q|x-t|}f(t)\,dt.}$