مسابقة دكتوراه 2018 — Université Larbi Tébessi - Tébessa — الموضوع 01

1. Énoncer le théorème de l'application ouverte.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'un espace métrique complet soit compact.

Soit $H$ un espace de Hilbert. Pour toute forme linéaire continue $L$ sur $H$, il existe un unique vecteur $u_L\in H$ tel que

1. Donner le nom de ce théorème.
2. Démontrer ce théorème.

Soit $E$ un espace vectoriel normé et $F$ un sous-espace vectoriel non dense de $E$. Montrer que $F$ est inclus dans un hyperplan fermé de $E$.

Soit $H$ un espace de Hilbert et $S\in\mathcal{L}(H)$ tel que

1. Montrer que, pour tout $x\in\ker(S)$, tout $y\in H$ et tout $t\in\mathbb{R}$,

2. En déduire que $\ker(S)\subset R(S)^\perp$.
3. Montrer que $\ker(S)=R(S)^\perp$.
4. En utilisant le théorème de Lax-Milgram, montrer que $I+tS$ est bijectif pour tout $t\ge0$.