مسابقة دكتوراه 2013 — Université M'Hamed Bougara - Boumerdès

التمرين 1

تمرين 1

Soit $Y_1, Y_2, \ldots$ des variables i.i.d. et soit $X_n = \prod_{i=1}^{n} Y_i$ . Sous quelle condition la suite $X_n$ est-elle une sur-martingale ? Une sous-martingale ? Une martingale ?

◀الحل

Comme $E(|X_n|) = E(|Y_1|)^n$ , une première condition est que $E(|Y_1|) < \infty$ , i.e. $Y_1 \in L^1$ .

D'autre part,

E(X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n) = E(Y_{n+1} X_n \mid \mathcal{F}_n) = X_n\, E(Y_{n+1}) = X_n\, E(Y_1)

(car $X_n \in \mathcal{F}_n$ , $Y_{n+1} \perp \mathcal{F}_n$ et $E(Y_{n+1}) = E(Y_1)$ ).

La suite $X_n$ est donc une sur-martingale, une sous-martingale ou une martingale selon que $E(Y_1) \leq 1$ , $\geq 1$ ou $= 1$ .

التمرين 2

تمرين 2

Montrer que si $N_k$ , $k \in \mathbb{N}$ , est une suite de temps d'arrêt telle que $N_k \nearrow N$ , alors $N$ est un temps d'arrêt.

◀الحل

Il suffit d'observer que le fait que $N_k \nearrow N$ implique

\{ N \leq n \} = \bigcap_{k \in \mathbb{N}} \{ N_k \leq n \} \in \mathcal{F}_n,

donc $N$ est un temps d'arrêt.

التمرين 3

تمرين 3

Soit $Y$ une variable aléatoire normale centrée, de variance $\sigma^2$ . Montrer que $E(e^Y) = e^{\frac{\sigma^2}{2}}$ .

Pour $\lambda$ réel, montrer que le processus $\exp\left( \lambda B_t - \frac{1}{2} \lambda^2 t \right)$ , $t \geq 0$ , est une martingale.
On pose $X_t = \mu t + \sigma B_t$ . En déduire alors que, pour tout $\beta$ réel,

\exp\left\{ \beta X_t - \left( \mu \beta + \frac{1}{2} \sigma^2 \beta^2 \right) t \right\}

est une martingale.

التمرين 4

تمرين 4

Soit $a, \alpha, b, \beta$ quatre constantes réelles. Soit $x \in \mathbb{R}$ . On considère l'équation différentielle stochastique

\begin{cases} dX_t = (a + \alpha X_t)\, dt + (b + \beta X_t)\, dB_t \\ X_0 = x \end{cases} \qquad (1)

Montrer que (1) admet une solution unique.
Soit $(Y_t)$ l'unique solution de (1) quand $a = b = 0$ vérifiant $Y_0 = 1$ . Montrer que

Y_t = \exp\left\{ \left( \alpha - \frac{1}{2} \beta^2 \right) t + \beta B_t \right\}.

Montrer que si $\alpha \geq 0$ , $Y$ est une sous-martingale par rapport à la filtration $\mathcal{F}$ . À quelle condition sur $\alpha$ , $Y$ est-elle une martingale ?
Soit $(Z_t)$ le processus défini par

Z_t = x + (a - b\beta) \int_0^t Y_s^{-1}\, ds + b \int_0^t Y_s^{-1}\, dB_s.

Montrer que $(Z_t)$ est un processus d'Itô. Calculer $\langle Y, Z \rangle_t$ . En déduire que la solution $X_t$ de (1) peut s'écrire $X_t = Y_t Z_t$ . 5. On se donne $r$ et $a \in \mathbb{R}$ . Résoudre l'EDS

dT_t = r\, dt + a T_t\, dB_t, \qquad T_0 = 1.

Indication : Soit le « facteur intégrant » $F_t = \exp\left( -a B_t + \frac{1}{2} a^2 t \right)$ . Considérer $X_t = F_t T_t$ .

◀الحل

1. Les coefficients $b(t, x) = a + \alpha x$ et $\sigma(t, x) = b + \beta x$ sont lipschitziens en $x$ et à croissance linéaire :

|b(t, x) - b(t, y)| + |\sigma(t, x) - \sigma(t, y)| \leq K |x - y|, \qquad |b(t, x)|^2 + |\sigma(t, x)|^2 \leq K^2 (1 + x^2),

donc (1) admet une solution unique.

2. On applique la formule d'Itô à $F(t, x) = e^{\left( \alpha - \frac{1}{2} \beta^2 \right) t + \beta x}$ :

dY_t = \left( \alpha - \frac{1}{2} \beta^2 \right) Y_t\, dt + \beta Y_t\, dB_t + \frac{1}{2} \beta^2 Y_t\, dt = \alpha Y_t\, dt + \beta Y_t\, dB_t,

avec $Y_0 = 1$ : c'est bien l'unique solution de (1) quand $a = b = 0$ (mouvement brownien géométrique).

3. Pour $s < t$ :

E(Y_t \mid \mathcal{F}_s) = E\left( e^{\left( \alpha - \frac{1}{2} \beta^2 \right) t + \beta B_t} \,\Big|\, \mathcal{F}_s \right) = Y_s\, e^{\alpha (t - s)},

car $E\left( e^{\beta (B_t - B_s)} \right) = e^{\frac{1}{2} \beta^2 (t - s)}$ . Ainsi, si $\alpha \geq 0$ , $E(Y_t \mid \mathcal{F}_s) \geq Y_s$ et le processus est une sous-martingale ; $Y$ est une martingale si et seulement si $\alpha = 0$ .

4. $Z$ est un processus d'Itô :

dZ_t = (a - b\beta)\, Y_t^{-1}\, dt + b\, Y_t^{-1}\, dB_t,

et comme $dY_t = \alpha Y_t\, dt + \beta Y_t\, dB_t$ :

d\langle Y, Z \rangle_t = \beta Y_t \cdot b\, Y_t^{-1}\, dt = b\beta\, dt.

En posant $U_t = Y_t Z_t$ , la formule d'Itô donne

dU_t = Y_t\, dZ_t + Z_t\, dY_t + d\langle Y, Z \rangle_t = (a - b\beta)\, dt + b\, dB_t + \alpha U_t\, dt + \beta U_t\, dB_t + b\beta\, dt

= (a + \alpha U_t)\, dt + (b + \beta U_t)\, dB_t,

avec $U_0 = x$ . Par unicité de la solution de (1), $X_t = Y_t Z_t$ .

5. On pose $F_t = e^{-a B_t + \frac{1}{2} a^2 t}$ et $X_t = F_t T_t$ . La formule d'Itô donne

dX_t = F_t\, dT_t + T_t\, dF_t - a F_t T_t\, dt = r F_t\, dt

(les termes stochastiques se compensent). Comme $X_0 = F_0 T_0 = 1$ :

X_t = 1 + r \int_0^t F_s\, ds,

d'où

T_t = F_t^{-1} \left( 1 + r \int_0^t F_s\, ds \right) = e^{a B_t - \frac{1}{2} a^2 t} \left( 1 + r \int_0^t e^{-a B_s + \frac{1}{2} a^2 s}\, ds \right).