مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 05

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ de dimension finie $n$. On considère une base $(e_i)_{1\leq i\leq n}$ de $E$. Pour tout $x\in E$, on écrit

$$x=\sum_{i=1}^{n}x_ie_i,\qquad x_i\in\mathbb{R}.$$

On munit $E$ de l’application

$$\lVert x\rVert_\infty=\max_{1\leq i\leq n}\lvert x_i\rvert.$$

1. Montrer que $\lVert\cdot\rVert_\infty$ est une norme sur $E$.

2. Pour $f\in E'$, l’ensemble des formes linéaires continues sur $E$, on pose $f_i=f(e_i)$. Déterminer explicitement, en fonction de $f_i$, la norme duale $\lVert f\rVert_{E'}$ d’un élément $f\in E'$.

Soit $E$ l’ensemble des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ et $A$ l’ensemble des fonctions $f$ de $E$ telles que

$$f(0)=0\qquad\text{et}\qquad \int_0^1f(x)\,dx\geq 1.$$

On munit $E$ de la norme de la convergence uniforme

$$\lVert f\rVert_\infty=\sup_{x\in[0,1]}\lvert f(x)\rvert.$$

1. Montrer que les applications $f\mapsto f(0)$ et $f\mapsto\int_0^1f(x)\,dx$ sont des formes linéaires continues sur $E$.

2. En déduire que $A$ est un fermé de $E$.

3. Montrer que $\lVert f\rVert_\infty>1$ pour tout $f\in A$.

Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, $n\in\mathbb{N}$.

1. Rappeler les espaces de Sobolev $H^m(\Omega)$, pour $m>0$, et $H_0^1(\Omega)$.

2. Posons $\Omega=]-a,a[$, avec $a$ un réel positif.

   1. Soit $u$ définie sur $\Omega$ par

$$u(x)=\begin{cases} 2, & x>0,\\ 1, & x\leq 0. \end{cases}$$

Montrer que $u\notin H^1(]-a,a[)$.

2. Vérifier que la fonction $v$ définie par

$$v(t)=\frac{t+\lvert t\rvert}{2}$$

appartient à $H^1(]-a,a[)$, mais qu’elle n’appartient pas à $H^2(]-a,a[)$.

3. Fixons $f\in L^2(\Omega)$ et $u\in H^1(\Omega)$. Montrer l’équivalence entre les deux affirmations suivantes :

   1. $\Delta u-u=f$ dans $\mathcal{D}'(\Omega)$.

$$\sum_{i=1}^{n}\int_\Omega\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial v}{\partial x_i}\,dx+\int_\Omega uv\,dx+\int_\Omega fv\,dx=0,\quad \forall v\in H_0^1(\Omega).$$