مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 06

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle LMD, Mathématiques Appliquées (Option : Probabilités et Statistique), Épreuve de Probabiliés (2ème version), Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques, 17 octobre 2015, durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Propriétés de l'espérance conditionnelle : projection, inégalité de Bienaymé–Chebyshev

#conditional-expectation#bienayme-chebyshev#projection#sigma-algebra

Soit $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ un espace probabilisé et $\mathcal{G}$ une sous tribu de $\mathcal{F}$ .

Montrer que si $X$ est une variable aléatoire $\mathcal{G}$ -mesurable, $Y$ une variable aléatoire avec $E[|Y|] \lt \infty$ , $E[|YX|] \lt \infty$ , alors $E[XY|\mathcal{G}] = XE[Y|\mathcal{G}]$ .
Montrer que si $E[X^2] \lt \infty$ , alors $E[X|\mathcal{G}]$ est la variable $Y$ , $\mathcal{G}$ -mesurable qui minimise $E[(X-Y)^2]$ .
Pour tout $A \in \mathcal{G}$ , on pose $P(A|\mathcal{G}) = E[1_A|\mathcal{G}]$ . Montrer l'inégalité de Bienaymé–Chebyshev :

$P(\{|X| \geq a\}|\mathcal{G}) \leq \frac{1}{a^2} E[X^2|\mathcal{G}]$

Sous-question : On considère deux variables aléatoires $U$ et $V$ telles que $E(V/\mathcal{G}) = U$ et $E(U^2) = E(V^2)$ . a. Calculer $\text{Var}(V - U/\mathcal{G})$ . b. En déduire $\text{Var}(V - U)$ . c. Que peut-on en déduire sur la relation entre $U$ et $V$ ?

◀الحل

1.

Pour tout $B \in \mathcal{G}$ : $E[1_B \cdot XY] = E[1_B X E[Y|\mathcal{G}]]$ (propriété de la projection). Ceci caractérise $E[XY|\mathcal{G}] = XE[Y|\mathcal{G}]$ .

2.

Si $Y = E[X|\mathcal{G}] + Z$ avec $Z$ $\mathcal{G}$ -mesurable, alors $E[(X-Y)^2] = E[(X-E[X|\mathcal{G}])^2] + E[Z^2] \geq E[(X-E[X|\mathcal{G}])^2]$ , minimal pour $Z=0$ .

3.

$E[X^2|\mathcal{G}] \geq E[X^2 1_{\{|X|\geq a\}}|\mathcal{G}] \geq a^2 E[1_{\{|X|\geq a\}}|\mathcal{G}] = a^2 P(\{|X|\geq a\}|\mathcal{G})$ .

a.

$E[V-U|\mathcal{G}] = E[V|\mathcal{G}] - U = 0$ , donc $\text{Var}(V-U|\mathcal{G}) = E[(V-U)^2|\mathcal{G}] = E[V^2|\mathcal{G}] - U^2$ .

b.

$\text{Var}(V-U) = E[E[V^2|\mathcal{G}]] - E[U^2] = E[V^2] - E[U^2] = 0$ .

c.

$V - U = 0$ p.s., donc $V = U$ p.s.

التمرين 2

Exercice 2 — Formule de l'espérance par la fonction de répartition

#expectation#survival-function#integration-by-parts

Sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ , on considère une variable aléatoire positive $X$ de fonction de répartition $F_X$ . Pour $n \in \mathbb{N}^*$ , montrer que

$E[X^n] = \int_0^{+\infty} nt^{n-1} P(X \gt t)\, dt = \int_0^{+\infty} nt^{n-1}(1 - F_X(t))\, dt.$

◀الحل

Par le théorème de Fubini et en échangeant les intégrales :

$\int_0^\infty n t^{n-1} P(X \gt t)\, dt = \int_0^\infty n t^{n-1} \int_\Omega 1_{\{X(\omega) \gt t\}}\, dP(\omega)\, dt$

$= \int_\Omega \int_0^{X(\omega)} n t^{n-1}\, dt\, dP(\omega) = \int_\Omega X(\omega)^n\, dP(\omega) = E[X^n].$

$\boxed{E[X^n] = \int_0^{+\infty} n t^{n-1}(1-F_X(t))\, dt}$

التمرين 3

Exercice 3 — Mesure image et formule d'intégration

#image-measure#measurable-applications#measure-theory#integration

Soient $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ un espace mesuré, $(X, \mathcal{X})$ un espace mesurable et $\varphi$ une application mesurable de $\Omega$ dans $X$ . On définit la mesure image de $\mu$ par l'application $\varphi$ par :

$\forall A \in \mathcal{X} : \mu_\varphi(A) = \mu(\varphi^{-1}(A))$

Montrer que $\mu_\varphi$ est une mesure sur $(X, \mathcal{X})$ .
Montrer que pour toute fonction mesurable positive $f : X \to \mathbb{R}$ on a $\int_X f\, d\mu_\varphi = \int_\Omega f \circ \varphi\, d\mu$ .

◀الحل

1.

$\mu_\varphi(\emptyset) = \mu(\varphi^{-1}(\emptyset)) = \mu(\emptyset) = 0$ . Pour des ensembles disjoints $A_n$ : $\varphi^{-1}(\bigcup A_n) = \bigcup \varphi^{-1}(A_n)$ (disjoints), donc $\mu_\varphi(\bigcup A_n) = \sum \mu_\varphi(A_n)$ . ✓

2.

Par les fonctions indicatrices : $\int_X 1_A\, d\mu_\varphi = \mu_\varphi(A) = \mu(\varphi^{-1}(A)) = \int_\Omega 1_A \circ \varphi\, d\mu$ . Par linéarité pour les fonctions étagées, puis par passage à la limite monotone pour les fonctions mesurables positives.

التمرين 4

Exercice 4 — Couple aléatoire de densité conjointe : marginales, conditionnelle et espérance

#joint-density#marginal-density#conditional-expectation#tower-property

Soit $(X, Y)$ un couple aléatoire de densité jointe :

$f_{X,Y}(x, y) = 2e^{-(x+y)} \mathbf{1}_{\{0 \leq x \leq y\}}$

(1) Montrer que $f_{X,Y}(\cdot, \cdot)$ est une densité de probabilité. (2) Déterminer les densités marginales $f_X(\cdot)$ , $f_Y(\cdot)$ de $X$ et $Y$ . Déduire $\mathbb{E}(X)$ . (3) Déterminer la densité conditionnelle $f_{Y/X}(x, y)$ de $Y$ sachant que $(X = x)$ . (4) Calculer $\mathbb{E}(Y \mid X = x)$ , et déduire $\mathbb{E}(Y \mid X)$ . (5) Calculer $\int_{\mathbb{R}} \mathbb{E}(Y \mid X = x) f_X(x) dx$ et déduire que $\mathbb{E}(\mathbb{E}(Y \mid X)) = \mathbb{E}(Y)$ . (6) Déterminer la valeur de $\mathbb{E}(Y)$ par deux méthodes différentes.

◀الحل

(1)

$\int_0^\infty \int_x^\infty 2e^{-(x+y)} dy\, dx = \int_0^\infty 2e^{-2x} dx = 1$ . ✓

(2)

$f_X(x) = 2e^{-2x}$ ( $x \geq 0$ ), $X \sim \mathcal{E}(2)$ , $E[X] = 1/2$ . $f_Y(y) = 2e^{-y}(1-e^{-y})$ pour $y \geq 0$ .

(3)

$f_{Y|X}(y|x) = e^{-(y-x)}$ pour $y \geq x$ (loi $x + \mathcal{E}(1)$ ).

(4)

$E[Y|X=x] = x + 1$ , donc $E[Y|X] = X + 1$ .

(5)

$\int_0^\infty (x+1) 2e^{-2x} dx = 1/2 + 1 = 3/2 = E[Y]$ . ✓

(6)

$E[Y] = E[X+1] = 3/2$ (méthode 1). Directement par $\int y f_Y(y)dy = 3/2$ (méthode 2).

$\boxed{E[Y] = 3/2}$

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