مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 02

Soit $\varphi\in L^2(\mathbb{R})$. On suppose que $u(x,t)$ est la solution du problème à valeurs initiales

$ \partial_tu+c\partial_xu+u=0,\qquad u(x,0)=\varphi(x),\qquad c>0,

telle que $u$ et ses dérivées tendent vers $0$ lorsque $\lvert x\rvert\to+\infty$.

1. On note $f(t)=\lVert u(\cdot,t)\rVert_{L^2(\mathbb{R})}^2$. Démontrer que $f$ satisfait l’EDO suivante :

$
f'+2f=0.

2. Déduire que

$\lVert u(\cdot,t)\rVert_{L^2(\mathbb{R})}^2=e^{-2t}\lVert\varphi\rVert_{L^2(\mathbb{R})}^2. ``$

Soit le problème suivant :

$ \begin{cases} \partial_tv=\partial_{xx}v, & 0<x<\frac{\pi}{2},\ t>0,\ v(0,t)=0,\quad \partial_xv\left(\frac{\pi}{2},t\right)=0, & t>0,\ v(x,0)=\sin(x), & 0<x<\frac{\pi}{2}. \end{cases}

1. Déterminer les conditions initiales et préciser les conditions aux limites.

2. Quel phénomène physique représente ce problème ?

3. Résoudre ce problème à l’aide de la méthode de séparation des variables.

Soient $c$ et $V$ deux constantes strictement positives et $\varphi,\psi$ deux fonctions continues. On considère l’équation suivante qui décrit les ondes sonores, avec une vitesse $c$, dans un fluide qui a une vitesse d’écoulement $V$ :

$ \begin{cases} \partial_{tt}w+2V\partial_{xt}w+(V^2-c^2)\partial_{xx}w=0, & x\in\mathbb{R},\ t>0,\ w(x,0)=\varphi(x), & x\in\mathbb{R},\ \partial_tw(x,0)=\psi(x), & x\in\mathbb{R}. \end{cases}

1. Démontrer que le changement de variable

$
w(x,t)=y(\xi,\tau),\qquad \xi=x-Vt,\qquad \tau=t,

transforme l’EDP en l’équation des ondes

$ \partial_{\tau\tau}y-c^2\partial_{\xi\xi}y=0.

2. Calculer les conditions initiales pour les variables $\xi$ et $\tau$ et écrire la solution générale de cette équation.

3. Déduire la solution du problème initial.