مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 03

Soit l’équation aux dérivées partielles linéaire d’ordre deux suivante :

$ u_{xx}-2u_{xy}+2u_{yy}=0.

1. Déterminer si cette équation est hyperbolique, parabolique ou elliptique.

2. Avec le changement de variable

$
\eta=x+y,\qquad \xi=x,

transformer cette équation à la forme canonique.

3. On définit l’ensemble

$ \Omega=\left{(x,y)\in\mathbb{R}^2:0\leq x+y\leq1\ \text{et}\ 0\leq x\leq1\right}.

   1. Dessiner lΓÇÖensemble $\Omega$.
   2. Résoudre le problème suivant :

$
\begin{cases}
u_{xx}-2u_{xy}+2u_{yy}=0,\\
u(x+y,x)=0\quad\text{sur }\partial\Omega.
\end{cases}
``$

On considère le problème de valeurs initiales suivant :

$ \begin{cases} \partial_tv-\partial_{xx}v=\sin(5\pi x), & 0<x<1,\ t>0,\ v(x,0)=0, & 0<x<1,\ v(0,t)=v(1,t)=0, & t>0. \end{cases}

1. Chercher une solution du problème sous la forme $A(t)\sin(5\pi x)$, où $A(t)$ est une fonction à déterminer.

2. Démontrer l’unicité de la solution en utilisant la méthode d’énergie.

Soient $c$ et $\alpha$ deux constantes strictement positives et $\varphi,\psi$ deux fonctions régulières à support compact. On suppose que $w(x,t)$ est une solution régulière du problème à valeurs initiales suivant :

$ \begin{cases} \partial_{tt}w-c^2\partial_{xx}w+\alpha\partial_tw=0, & -\infty<x<+\infty,\ t>0,\ w(x,0)=\varphi(x), & -\infty<x<+\infty,\ \partial_tw(x,0)=\psi(x), & -\infty<x<+\infty, \end{cases}

telle que $w$ et ses dérivées tendent vers $0$ lorsque $\lvert x\rvert\to+\infty$.

On définit l’énergie associée à ce problème par

$
E(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(w_t^2+c^2w_x^2\right)\,dx.

1. Démontrer que $E(t)$ est décroissante en $t$.

2. Déduire l’unicité de la solution.