مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 04

Soit $v(x,t)$ la température au temps $t$ au point $x$, avec $-L\leq x\leq L$, et $\varphi\in L^2(-L,L)$. On suppose qu’elle satisfait l’équation de la chaleur

$ \begin{cases} \partial_tv-\partial_{xx}v=0, & -L<x<L,\ t>0,\ v(-L,t)=v(L,t)=0, & t>0,\ v(x,0)=\varphi(x), & -L<x<L. \end{cases}

1. Démontrer que la fonction

$
E(t)=\frac{1}{2}\int_{-L}^{L}v^2(x,t)\,dx

est une fonction décroissante en $t$.

2. Soient $f$ et $g$ des fonctions données. Utiliser le résultat précédent pour démontrer l’unicité de la solution du problème suivant :

$ \begin{cases} \partial_tw-\partial_{xx}w=0, & -L<x<L,\ t>0,\ w(-L,t)=f(t),\quad w(L,t)=g(t), & t>0,\ w(x,0)=\psi(x), & -L<x<L. \end{cases}

3. Déduire que si $\psi(x)$ est une fonction impaire et $w(-L,t)=w(L,t)$, alors la température $w(x,t)$ est aussi une fonction impaire en $x$.

Soit le problème de Cauchy pour l’équation de la chaleur :

$ \begin{cases} \partial_tu=c\partial_{xx}u, & x\in\mathbb{R},\ t>0,\ c>0,\ u(x,0)=\varphi(x), & x\in\mathbb{R}. \end{cases}

La solution du problème s’écrit comme

$
u(x,t)=\int_{\mathbb{R}}\varphi(y)K(x,y,t)\,dy,

o├╣

$ K(x,y,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi ct}}e^{-\frac{(y-x)^2}{4ct}}

est le noyau de Gauss, solution fondamentale.

1. Montrer que $K(x,y,t)>0$ et $K(x,y,t)\in C^\infty$.

2. Montrer que $K(x,y,t)$ est également solution de l’équation, c’est-à-dire

$
\partial_tK=c\partial_{xx}K.

3. Des questions précédentes, que peut-on déduire pour la solution $u(x,t)$ ?

4. Montrer que

$ \int_{\mathbb{R}}K(x,y,t),dy=1.

5. Déduire que si $0<\varphi(x)<M$, alors $0<u(x,t)<M$, pour une constante positive $M$.

6. Calculer la solution pour

$
\varphi(x)=\begin{cases}
1, & \lvert x\rvert<1,\\
0, & \lvert x\rvert\geq1,
\end{cases}

sachant que

$ \operatorname{Erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-s^2},ds.

Indication :

$
\int_{\mathbb{R}}e^{-u^2}\,du=\sqrt{\pi}.
``$