مسابقة دكتوراه 2025 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 01

a) Représentation de Riesz

$E$ étant un espace de Hilbert, le théorème de Riesz donne un unique $a\in E$ tel que $T(x)=\langle a,x\rangle$ pour tout $x$. D'où $f(x)=\|x\|^{2}-\langle a,x\rangle.$

b) Réduction à une projection

En complétant le carré : $\Big\|x-\tfrac12 a\Big\|^{2}=\|x\|^{2}-\langle a,x\rangle+\tfrac14\|a\|^{2},$ donc $f(x)=\|x\|^{2}-\langle a,x\rangle=\Big\|x-\tfrac12 a\Big\|^{2}-\tfrac14\|a\|^{2}.$ Minimiser $f$ sur $C$ revient donc à minimiser $\big\|x-\tfrac12 a\big\|$ sur $C$. Par hypothèse de projection, $p_C$ vérifie $\big\|\tfrac12 a-p_C\big\|\le\big\|\tfrac12 a-x\big\|$ pour tout $x\in C$, d'où $f(p_C)=\Big\|p_C-\tfrac12 a\Big\|^{2}-\tfrac14\|a\|^{2}\le\Big\|x-\tfrac12 a\Big\|^{2}-\tfrac14\|a\|^{2}=f(x),\quad\forall x\in C.$

c) Existence et unicité du minimum

Le théorème de projection sur un convexe fermé d'un Hilbert garantit l'existence et l'unicité du projeté $p_C=\operatorname{proj}_C\!\big(\tfrac12 a\big)$. Comme $f(x)=\|x-\tfrac12a\|^2-\tfrac14\|a\|^2$ et que ce projeté est l'unique minimiseur de $x\mapsto\|x-\tfrac12a\|$ sur $C$, $f$ atteint son minimum sur $C$ en l'unique point $p_C$. $\boxed{\min_{x\in C}f(x)=f(p_C)\ \text{atteint uniquement en } p_C=\operatorname{proj}_C\!\big(\tfrac12 a\big).}$

1. $T$ est bien définie

Pour $f\in L^2(\mathbb{R})$, la fonction $x\mapsto f(|x|)$ est mesurable (composée par $x\mapsto|x|$) et $\int_{\mathbb{R}}|f(|x|)|^{2}\,dx=2\int_{0}^{+\infty}|f(t)|^{2}\,dt\le 2\|f\|_{L^2}^{2}<+\infty,$ donc $T(f)\in L^{2}(\mathbb{R})$ : $T$ est bien définie (et à valeurs dans les fonctions paires).

2. Linéarité, continuité et norme

La linéarité est immédiate. D'après le calcul ci-dessus, $\|T(f)\|_{L^2}^{2}=2\int_{0}^{+\infty}|f(t)|^{2}\,dt\le 2\|f\|_{L^2}^{2},$ donc $T$ est continue avec $\|T\|\le\sqrt2$. Pour l'égalité, prenons $g\in L^2(\mathbb{R})$ nulle sur $]-\infty,0]$ et $\|g\|\neq0$ : alors $\int_{-\infty}^{0}|g|^2=0$, donc $\|g\|^2=\int_0^{+\infty}|g|^2$ et $\|T(g)\|^{2}=2\int_{0}^{+\infty}|g|^{2}=2\|g\|^{2},\quad\text{soit}\quad\|T(g)\|=\sqrt2\,\|g\|.$ Donc $\boxed{\|T\|=\sqrt2}$.

3. Noyau et image

Noyau. $T(f)=0$ p.p. $\iff f(|x|)=0$ p.p. $\iff f(t)=0$ p.p. sur $[0,+\infty[$. Donc $\operatorname{Ker}T=\{f\in L^{2}(\mathbb{R}):\ f=0\ \text{p.p. sur }[0,+\infty[\}.$

Image. Toute fonction $T(f)$ est paire. Réciproquement, si $h\in L^2(\mathbb{R})$ est paire, en posant $f=h$ on a $T(f)(x)=h(|x|)=h(x)$. Donc $\operatorname{Im}T=\{h\in L^{2}(\mathbb{R}):\ h\ \text{paire}\}=L^{2}_{\text{pair}}(\mathbb{R}).$

i) Inégalité

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec $\varphi(t)=e^{t}\sin(1+t)$ : $\left|\int_0^L\varphi(t)g(t)\,dt\right|\le\Big(\int_0^L e^{2t}\sin^{2}(1+t)\,dt\Big)^{1/2}\Big(\int_0^L|g|^{2}\Big)^{1/2}.$ Comme $\sin^{2}(1+t)\le1$, $\int_0^L e^{2t}\sin^{2}(1+t)\,dt\le\int_0^L e^{2t}\,dt=\frac{e^{2L}-1}{2},$ d'où l'inégalité annoncée.

ii.1) $T$ borné

$T$ est linéaire. Avec le changement $u=L-t$ : $\|T(f)\|^{2}=\int_0^L f(L-t)^{2}\,dt=\int_0^L f(u)^{2}\,du=\|f\|^{2}.$ Donc $T$ est une isométrie, en particulier bornée : $T\in\mathcal{L}(H)$.

ii.2) Norme de $T$

$\|T(f)\|=\|f\|$ pour tout $f$, donc $\|T\|=1$ (par exemple $T(\mathbf 1)=\mathbf 1$).

ii.3) $T$ auto-adjoint

Par le changement $u=L-t$ : $\langle T(f),g\rangle=\int_0^L f(L-t)g(t)\,dt=\int_0^L f(u)\,g(L-u)\,du=\langle f,T(g)\rangle.$ Donc $T$ est auto-adjoint (et involutif : $T^2=\mathrm{Id}$).