مسابقة دكتوراه 2013 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

Concours d'accès à la formation 3ème Cycle 2012/2013, Mathématiques, Épreuve de Probabilités et Statistique (1H30), Université Mohamed Khider Biskra, Faculté des Sciences Exactes et Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques.

التمرين 2

Exercice 2 — Loi de Laplace symétrique, fonction caractéristique et loi de Cauchy

#laplace-distribution#characteristic-function#cauchy-distribution#fourier-inversion

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle symétrique de densité

$f(x) = \frac{a}{2}\exp(-a|x|), \quad \text{pour } x \in \mathbb{R}.$

Calculer la fonction caractéristique de $X$ .
En utilisant la formule d'inversion de Fourier : $\Psi_X(t) = \int e^{itx} f(x)\,dx \Longrightarrow f(x) = \frac{1}{2\pi}\int e^{-itx}\Psi_X(t)\,dt$ pour déduire la fonction caractéristique d'une variable aléatoire $Y$ suivant la loi de Cauchy de densité $f(x) = \dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$ , $x \in \mathbb{R}$ .
Soient $X_1, ..., X_n$ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi de Cauchy. Montrer que $Z = \frac{1}{n}(X_1 + ... + X_n)$ suit une loi de Cauchy.

◀الحل

1.

$\Phi_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{itx} \frac{a}{2} e^{-a|x|} dx = \frac{a}{a^2+t^2}$ .

2.

La densité de Cauchy est $f_Y(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}$ . En appliquant la formule d'inversion à $f_X$ avec $a=1$ : $\frac{1}{1+t^2} = \int_{-\infty}^\infty e^{-itx}\frac{1}{2}e^{-|x|}dx$ . En échangeant $t\leftrightarrow x$ et utilisant la symétrie : $\Phi_Y(t) = e^{-|t|}$ .

3.

$\Phi_Z(t) = \Phi_{X_1}(t/n)^n = (e^{-|t/n|})^n = e^{-|t|}$ , qui est la fonction caractéristique d'une loi de Cauchy. Donc $Z\sim$ Cauchy.

التمرين 3

Exercice 3 — Analyse descriptive de données : fréquence, moyenne, médiane et étendue

#descriptive-statistics#median#mean#frequency

Voici la série, ordonnées dans l'ordre croissant, des 15 notes obtenues en mathématiques par un élève au cours du premier semestre.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 4 & 6 & 6 & 9 & 11 & 11 & 12 & 13 & 13 & 13 & 14 & 15 & 17 & 18 & 18 \\\\ \hline \end{array}$

Quelle est la fréquence de la note 13 ?
Quelle est la note moyenne ?
Quelle est la note médiane ?
Quelle est l'étendue de cette série de notes ?

◀الحل

1.

La note 13 apparaît 3 fois sur 15 : fréquence $= 3/15 = \boxed{1/5 = 0.2}$ .

2.

$\bar{x} = \frac{1}{15}(4+6+6+9+11+11+12+13+13+13+14+15+17+18+18) = \frac{180}{15} = \boxed{12}$ .

3.

Avec 15 valeurs, la médiane est la 8ème valeur : $\boxed{13}$ .

4.

Étendue $= 18 - 4 = \boxed{14}$ .

التمرين 4

Exercice 4 — Loi de Poisson : description, estimateur des moments et MLE

#poisson-distribution#maximum-likelihood#method-of-moments#estimation

Soit $(X_1, ..., X_n)$ un $n$ -échantillon de loi de Poisson de paramètre $\lambda \gt 0$ inconnu.

Décrire la loi de $X_1$ . Donner son espérance et sa variance.
Proposer un estimateur par la méthode des moments.
Proposer un estimateur par la méthode du maximum de vraisemblance.

◀الحل

1.

$P(X_1 = k) = e^{-\lambda}\lambda^k/k!$ pour $k \in \mathbb{N}$ . $E[X_1] = \text{Var}(X_1) = \lambda$ .

2.

Moments : $E[X] = \lambda$ , donc $\widehat{\lambda}_M = \bar{X}_n$ .

3.

MLE : $\ell(\lambda) = -n\lambda + (\sum X_i)\log\lambda - \text{cte}$ . $\partial\ell/\partial\lambda = 0 \Rightarrow \widehat{\lambda}_{MV} = \bar{X}_n$ .

$\boxed{\widehat{\lambda}_M = \widehat{\lambda}_{MV} = \bar{X}_n}$

→←

→السابقConcours Doctorat 2013 — Université Ferhat Abbas - Sétif 1 — Épreuve N°01 التاليConcours Doctorat 2013 — Université Abdelhamid Ibn Badis - Mostaganem — Épreuve N°01←