مسابقة دكتوراه 2016 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 01

(05 points) Sur un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ on considère un couple de variables aléatoires $(X, Y)$ à valeurs dans $\mathbb{R}^2$, dont la loi admet la densité :

$$f(x, y) = \begin{cases} \alpha (1 - x^2) \cdot y \cdot \exp(-3y), & \text{si } x \in\, ]0, 1] \text{ et } y \in\, ]0, +\infty[ \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$

1. Déterminer la valeur du réel $\alpha$.
2. Déterminer les lois marginales du couple $(X, Y)$.
3. Calculer $P(0 < X \leq 2 ; Y \geq 1)$.

(05 points) Soit un espace de probabilité et $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes. On suppose que chaque $X_n$ suit la loi exponentielle de paramètre $\alpha$. On définit pour tout $n \geq 1$, $S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$ et $S_0 = 0$.

1. Montrer que pour tout $n \geq 1$, la loi de $S_n$ est donnée par la densité

$$f_n(x) = \begin{cases} \alpha^n \cdot \dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!} \exp(-\alpha x) & \text{si } x \geq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$

2. Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $F_n$ la fonction de répartition de $S_n$. Donner une relation de récurrence liant $F_n$ et $F_{n+1}$.

(06 points) Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes et de même loi, à savoir $\mathcal{N}(0, 1)$ (loi normale centrée réduite). On pose $T = \dfrac{X}{|Y|}$.

1. Expliquer rapidement pourquoi $T$ est bien définie.
2. Soit $t \in \mathbb{R}$. Montrer que

$$P(T \leq t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{t} \left( \int_{-\infty}^{+\infty} |y|\, e^{-\frac{(1 + u^2) y^2}{2}}\, dy \right) du.$$

3. En déduire que $T$ est une variable à densité, et exprimer sa densité $f_T(t)$ sous forme d'une intégrale entre $-\infty$ et $+\infty$.
4. Finalement, montrer que $f_T(t) = \dfrac{1}{\pi (1 + t^2)}$ pour tout $t \in \mathbb{R}$.
5. Que vaut $E(T)$ ?

(04 points)

1. Soit $X$ une variable aléatoire $L^p$-intégrable, avec $p \geq 1$. Montrer que pour tout $\lambda > 0$ on a

$$P(|X| \geq \lambda) \leq \frac{E[|X|^p]}{\lambda^p}.$$

2. Soit $X$ une variable aléatoire $L^2$-intégrable. Montrer que pour tout $\lambda > 0$ on a

$$P(|X - E[X]| \geq \lambda) \leq \frac{Var[X]}{\lambda^2}.$$