مسابقة دكتوراه 2020 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 01

1. Calculer la moyenne empirique, la variance empirique et la variance corrigée (sans biais) de cet échantillon.
2. On ajoute deux nouvelles observations : $75$ et $200$. Calculer la nouvelle moyenne, la nouvelle médiane et les nouvelles variances.

2. $P(m_n > t) = \prod_i P(X_i > t) = e^{-nt/\theta}$ : $m_n$ suit une loi exponentielle de moyenne $\frac{\theta}{n}$. Donc $E[m_n] = \frac{\theta}{n} \ne \theta$ : biaisé. L'estimateur $\hat{\theta}_2 = n \, m_n$ est sans biais : $E[\hat{\theta}_2] = \theta$.

3. $\mathrm{Var}(\hat{\theta}_2) = n^2 \mathrm{Var}(m_n) = n^2 \cdot \frac{\theta^2}{n^2} = \theta^2$. Les deux étant sans biais, l'EQM se réduit à la variance :

Il faut préférer $\hat{\theta}_1 = \bar{X}_n$ (sa variance tend vers 0, alors que celle de $\hat{\theta}_2$ reste $\theta^2$ : il n'est même pas convergent).

2. $\ln L(\theta) = n \ln\theta - (\theta + 1) \sum_{i=1}^n \ln X_i$ ; en annulant la dérivée $\frac{n}{\theta} - \sum_i \ln X_i = 0$ :

(maximum car la dérivée seconde $-n/\theta^2 < 0$).

3. $\ln f_\theta(x) = \ln\theta - (\theta+1)\ln x$, $\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \ln f_\theta = -\frac{1}{\theta^2}$, donc