مسابقة دكتوراه 2013 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 02

Soit $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ une fonction numérique et $L_i(x)$ le polynôme d'interpolation de $f$ aux points $x_0 = 0$, $x_1 = 1$.

1. Déterminer les polynômes numériques $p_0(x)$, $p_1(x)$ associés aux points $x_0, x_1$.
2. Calculer $\int_0^1 p_0(x)dx$ et $\int_0^1 p_1(x)dx$.
3. Prouver qu'il existe des constantes $\omega_0$ et $\omega_1$ (que l'on déterminera) tels que $\int_0^1 L_1(x)dx = \omega_0 f(0) + \omega_1 f(1)$.
4. Interpréter cette formule géométriquement.
5. Calculer $\int_0^1 L_1(x)dx$ pour la fonction $f(x) = \dfrac{1}{1+x}$.

En utilisant la table ci-dessous, calculer $\int_{1.1}^{1.5} f(x)dx$ pour :

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & 1.1 & 1.3 & 1.5 \\ \hline f(x) & 3.0042 & 3.6993 & 4.4817 \end{array}$$

1. La méthode des trapèzes.
2. La méthode de Simpson.

$R[X]$ étant l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, on note $A = \{P \in R[X] / \int_0^1 P(a)da = \frac{1}{4}\}$. Soit $f : R[X] \to R[X]$ l'endomorphisme défini par $f(P) = P'$, $P'$ est la dérivée de $P$. Soit $d = f/A$ la restriction de $f$ à $A$.

1. Montrer que $d$ est un isomorphisme de $f$ sur $R[X]$.
2. On note $\gamma = d^{-1}$ l'isomorphisme réciproque. Vérifier que pour tout élément $Q$ de $R[X]$ : $\gamma(Q)(x) = \int_0^x Q(t)dt + \int_0^1(t-1)Q(t)dt$.
3. On considère la suite $(B_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dans $R[X]$ définie par $B_0 = 1$ et par la relation de récurrence : $\forall n \in \mathbb{N}$, $B_{n+1} = \gamma(B_n)$. Calculer $B_1$ et $B_2$.
4. Vérifier que pour tout entier $n \ge 2$, on a $B_n(0) = B_n(1)$.
5. On associe à tout entier $n$ le polynôme $P_n$ défini par : $\forall x \in R$, $P_{n+1}(x) = (-1)^n B_n(x)$.
6. Montrer que pour tout $n$, $P_{n+1} = \gamma(P_n)$.
7. En déduire l'expression de $B_n(1-x)$ en fonction de $B_n(x)$.