مسابقة دكتوراه 2019 — Université Mohammed Seddik Benyahia - Jijel — الموضوع 03

Le but de cet exercice est de résoudre le système d'équations aux différences suivant :

$$x_{n+1} = \frac{x_n y_{n-1}}{y_n - 1} + 1, \qquad y_{n+1} = \frac{y_n x_{n-1}}{x_n - 1} + 1, \quad n \in \mathbb{N} \qquad (1)$$

avec $x_{-1}, y_{-1} \in ]0, +\infty[$ et $x_0, y_0 > 1$.

1) Considérons l'équation aux différences du premier ordre suivante

$$r_{n+1} = a r_n + b, \quad n = 0, 1, \ldots$$

avec $a$, $b$ et $r_0$ sont des réels ($a \ne 0$). Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$

$$r_n = a^n r_0 + \left( \frac{a^n - 1}{a - 1} \right) b, \quad a \ne 1,$$

et

$$r_n = r_0 + b n, \quad a = 1.$$

2) Montrer que pour les suites $(x_n)_{n=-1}^{+\infty}$ et $(y_n)_{n=-1}^{+\infty}$ solution du système $(1)$, on a

$$x_n > 1, \quad y_n > 1, \quad n \in \mathbb{N}.$$

3) Posons

$$u_n = \frac{x_n - 1}{x_{n-1}}, \qquad v_n = \frac{y_n - 1}{y_{n-1}}, \quad n \in \mathbb{N}. \qquad (2)$$

a) Montrer que le changement de variables $(2)$ ramène le système $(1)$ au système

$$u_{n+1} = f(v_n), \qquad v_{n+1} = f(u_n), \quad n \in \mathbb{N},$$

où $f$ est une fonction à déterminer.

b) Montrer que les suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont périodiques de période 2, c'est-à-dire

$$u_{n+2} = u_n, \qquad v_{n+2} = v_n, \quad n \in \mathbb{N}.$$

c) Supposons que

$$(x_0 - 1)\,y_{-1} = (y_0 - 1)\,x_{-1}.$$

Donner les formules explicites de $x_n$, $y_n$ en fonction des valeurs initiales $x_{-1}$, $x_0$, $y_{-1}$ et $y_0$.

d) Expliquer comment peut-on déduire la forme explicite des solutions de l'équation aux différences

$$x_{n+1} = \frac{x_n x_{n-1}}{x_n - 1} + 1, \quad n \in \mathbb{N}$$

à partir des solutions du système $(1)$.

Soit $A = \{a_1, -a_2\}$ et $E = \{p_1, -p_2\}$ deux alphabets. On donne une identité de fonctions génératrices reliant les fonctions symétriques complètes $h_n$ des alphabets $A$ et $E$ à des séries rationnelles en $z$ (formule illisible sur le scan).

1. Déterminer la fonction génératrice de $\displaystyle\sum_{n \ge 0} F_{n+1} P_n z^n$.

2. Déterminer la fonction génératrice de $\displaystyle\sum_{n \ge 0} F_{n+2} F_n z^n$.

3. Montrer que $\displaystyle\sum_{n \ge 0} F_{n+1} F_n z^n = \frac{z}{1 - 2z - 2z^2 + z^3}$ \ (sachant que $\displaystyle\sum_{n \ge 0} F_n^2 z^n = \frac{1 - z}{1 - 2z - 2z^2 + z^3}$).

4. Montrer que $\displaystyle\sum_{n \ge 0} F_{n+1} U_n(x) z^n = \frac{1 + 2xz}{1 - 2xz + (3 - 4x^2)z^2 + 4xz^3 + z^4}$, où $x = p_1 - p_2$ (sachant que $\displaystyle\sum_{n \ge 0} F_n U_n(x) z^n = \frac{1 - xz}{1 - 2xz + (3 - 4x^2)z^2 + 4xz^3 + z^4}$).

5. Montrer que $\displaystyle\sum_{n \ge 0} F_n T_n(x) z^n = \frac{1 - xz + (1 - 2x^2)z^2}{1 - 2xz + (3 - 4x^2)z^2 + 2xz^3 + z^4}$.

Remarque :

• La suite $(F_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est donnée par $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, $F_0 = 1$, $F_1 = 1$.
• La suite $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est donnée par $P_n = 2P_{n-1} + P_{n-2}$, $P_0 = 0$, $P_1 = 1$.
• La fonction génératrice d'une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est donnée par $g(z) = \sum_{n \ge 0} a_n z^n$.
• $T_n$ et $U_n$ sont respectivement les polynômes de Tchebychev du premier et deuxième espèce.

Pour tout entiers naturels $n, r$ et $p$, les hyper-sommes de puissances d'entiers notées par $S_{p,(a,b)}^{(r)}(n)$ sont définies par la relation de récurrence suivante :

$$S_{p,(a,b)}^{(r)}(n) = \sum_{k=0}^{n} S_{p,(a,b)}^{(r-1)}(k) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n + r - k}{r} (a + kb)^p, \quad n, r, p \ge 1, \qquad (5)$$

où $S_{0,(a,b)}^{(r)}(n) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n + r - k}{r} = \binom{n + r + 1}{r + 1}$ et $S_{p,(a,b)}^{(0)}(n) = \sum_{k=0}^{n} (a + kb)^p$.

Noter bien : $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial.

(i) Calculer la fonction génératrice exponentielle de $S_{p,(a,b)}^{(r)}(n)$ en $p$.

(ii) Si $r \equiv -1 \bmod n$, montrer que $S_{0,(a,b)}^{(r-1)}(n) \equiv (i + 1) \bmod n$ où $0 \le i \le n - 1$.

(iii) Montrer que pour tout nombres premiers $n \ge 2$ et $p > 0$ on a :

$$S_{p,(a,b)}^{(r)}(n) \equiv (i + 2) a^p \bmod n \ \text{si} \ r \equiv -1 \bmod n \ \text{où} \ 0 \le i \le n - 1.$$