مسابقة دكتوراه 2018 — Université Mouloud Mammeri - Tizi Ouzou — الموضوع 01

Soit $f : x \longmapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n \sin nx}{n}$.

1. Montrer que la série $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n \sin nx}{n}$ est normalement convergente sur tout intervalle $[-a, a]$, $0 < a < 1$.

2. Déduire que $f$ est continue sur $]-1, 1[$.

3. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]-1, 1[$ et que

$$f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( x^{n-1} \sin nx + x^n \cos nx \right).$$

4. En utilisant les expressions complexes suivantes : $x^n \sin nx = \operatorname{Im}[(xe^{ix})^n]$, $x^n \cos nx = \operatorname{Re}[(xe^{ix})^n]$, montrer que

$$f'(x) = \frac{\sin x + x\cos x - x^2}{1 - 2x\cos x + x^2}.$$

5. Soit $g(x) = \arctan\left( \dfrac{x \sin x}{1 - x \cos x} \right)$, $x \in ]-1, 1[$. Calculer $g'$ et déduire que $f \equiv g$.

1. On étudie la durée $X$ des communications téléphoniques dont la fonction de répartition est :

$$F(x) = \begin{cases} 1 - \exp(-kx), & \text{si } x \ge 0; \\ 0 & \text{ailleurs.} \end{cases}$$

(a) Pour $k = 5/6$, quelle est la probabilité pour qu'une communication ait une durée entre 3 et 6 minutes ?

(b) Si on ne connaît pas $k$, quelle valeur faudrait-il lui donner pour que la probabilité d'une communication supérieure à 3 minutes soit égale à $0{,}1$ ?

2. Une caisse d'assurance maladie reçoit 120 personnes pour l'obtention de remboursements. On admet que la caisse doit payer, en moyenne ($\mu$), à chaque personne 1000 DA avec un écart type ($\sigma$) de 600 DA. La caisse dispose de 130 000 DA.

Calculer la probabilité que cette somme soit suffisante.

N.B : Si $Z$ est une v.a. normale centrée réduite, $P(Z \le 1{,}52) = 0{,}93$.