مسابقة دكتوراه 2018 — Université Mouloud Mammeri - Tizi Ouzou — الموضوع 01

Soit $X_1, X_2, \ldots, X_n$ un échantillon d'une variable aléatoire $X$ de densité $f$ donnée par :

$$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\, I_{(x \ge 0)}$$

$I$ désigne la fonction indicatrice et $\lambda$ un paramètre positif inconnu.

1- Donner l'estimateur du maximum de vraisemblance $\widehat{\lambda}_1$ de $\dfrac{1}{\lambda}$. Montrer que $\widehat{\lambda}_1$ est sans biais et consistant.

2- On considère l'estimateur $\widehat{\lambda}_2 = nK$ où $K = \operatorname{Min}(X_i,\ i = 1, \ldots, n)$.

Montrer que $K$ suit une loi exponentielle de paramètre $n\lambda$. En déduire que $\widehat{\lambda}_2$ est sans biais mais non-consistant.

3- Comparer $\widehat{\lambda}_1$ et $\widehat{\lambda}_2$.

4- Tester l'hypothèse $H_0 : \lambda = \lambda_0$ contre $H_1 : \lambda > \lambda_0$ au seuil $\alpha$.

On introduit une fonction de coût appelée Linex :

$$L(\theta, \delta) = e^{c(\delta - \theta)} - c(\delta - \theta) - 1, \quad c > 0$$

1. Montrer que $L(\theta, \delta)$ est toujours positive et ne s'annule que pour $\delta = \theta$.

2. Montrer que, pour une observation $x$ de loi $f_\theta$ et une loi a priori $\pi(\theta)$, l'estimateur de Bayes sous la fonction de coût Linex est

$$\delta^\pi(x) = \frac{-1}{c} \ln\left\{ E^{\pi(\theta|x)}\left[ e^{-c\theta} \right] \right\} \qquad (1)$$

3. Déterminer l'estimateur de Bayes $\delta^\pi$ donné par (1) dans le cas où $X$ suit une loi $N(\theta, 1)$ et où $\pi$ est la loi non informative $\pi(\theta) = 1$.

On rappelle que la loi gamma $\mathcal{G}(\alpha, \theta)$ a pour densité

$$f(x\,|\,\alpha, \theta) = \frac{\theta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\, x^{\alpha - 1} \exp(-\theta x), \quad x \in \mathbb{R}^+.$$

Considérons un échantillon $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ d'une variable aléatoire $X$ de loi uniforme sur $(0, 1)$. Soit $(X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots, X_{(n)})$ l'échantillon ordonné associé.

1. Donner la densité de la médiane de l'échantillon en supposant que $n = 2k + 1$.

2. Quelle est la loi de la statistique d'échantillon $V = \dfrac{X_{(i)}}{X_{(j)}}$ pour $i$ et $j$ fixés $(0 \le i < j \le n)$ ?