مسابقة دكتوراه 2018 — Université Mustapha Stambouli - Mascara — الموضوع 01

Soient $X$ et $Y$ deux espaces vectoriels topologiques. Un sous-ensemble $S$ dans $X$ est dit bornivore s'il absorbe toute partie bornée de $X$.

a) On suppose que $X$ possède une base dénombrable de voisinages de $0$. Montrer que :

(i) Toute partie équilibrée et bornivore de $X$ est un voisinage de $0$.

(ii) Toute application linéaire, de $X$ dans $Y$, transformant un borné en un borné, est continue.

b) L'espace $X$ est dit localement borné s'il possède un voisinage borné de l'origine.

(i) Montrer que tout espace vectoriel normé est localement borné.

(ii) Montrer que l'espace $L^p(\Omega, \mathscr{A}, \mu)$ des classes de fonctions mesurables, de $p$-ième puissance $\mu$-intégrable ($0 < p \le +\infty$) sur un espace de mesure $(\Omega, \mathscr{A}, \mu)$, muni de la topologie habituelle, est localement borné.

c) Une famille $\mathscr{S}$ de bornés de $X$ est dite une base de bornés si pour tout borné $B$, il existe un $S \in \mathscr{S}$ tel que $B \subset S$.

(i) Montrer que si $X$ possède une base dénombrable de voisinages de $0$ et une base dénombrable de bornés, alors $X$ est localement borné.

Soit $u \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ tel que $\operatorname{supp} u = \{0\}$. Soit $\psi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ positive, telle que $\psi = 1$ sur un voisinage de $\overline{B}(0, 1)$ et $\operatorname{supp} \psi \subset B(0, 2)$. On pose $\psi_r(x) = \psi\left(\frac{x}{r}\right)$ pour $r > 0$ et $x \in \mathbb{R}^n$.

1) Rappeler la définition d'une distribution d'ordre fini, et justifier pourquoi $u$ est d'ordre fini, que l'on notera $m \in \mathbb{N}$.

2) Montrer que $\forall r > 0$ : $\psi_r u = u$.

3) Soit $\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$, telle que pour tout multi-indice $\alpha \in \mathbb{N}^n$ tel que $|\alpha| \le m$, on ait $(D^\alpha \varphi)(0) = 0$. Montrer que :

$$\|\psi_r \varphi\|_{C^m} \longrightarrow 0 \quad \text{quand } r \to 0.$$

Indication : On pourra montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un voisinage $K$ de $0$, tel que pour tout $x \in K$, et tout multi-indice $\beta$ tel que $|\beta| \le m$ : $|(D^\beta \varphi)(x)| \le \varepsilon (n|x|)^{m - |\beta|}$.

4) En déduire que : $\langle u, \varphi \rangle = 0$.

5) Montrer qu'il existe des nombres complexes $a_\beta$ tels que :

$$u = \sum_{|\beta| \le m} a_\beta\, \delta_0^{(\beta)}.$$

Soit $c_0$ le sous-espace vectoriel de $l^\infty$ formé des suites qui convergent vers zéro. On considère le sous-espace vectoriel $c_c \subset c_0$ formé des suites dont les termes sont tous nuls sauf un nombre fini. On pose $\|x\|_\infty = \sup_{n \ge 0} |x_n|$. Soit $x = (x_n)_{n \ge 0} \in c_c$.

1) On pose $Sx = ((n + 1)\,x_n)_{n \ge 0}$. Montrer que $S$ est une application linéaire non continue de $c_c$ dans $c_c$ et que le graphe de $S$ est fermé.

2) On pose $Tx = \left(\dfrac{x_n}{n + 1}\right)_{n \ge 0}$. Montrer que $T$ est une application linéaire continue bijective non ouverte de $c_c$ dans $c_c$.