مسابقة دكتوراه 2022 — Université Oran 1

On pose $a_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^{-x} \, dx$, $n \in \mathbb{N}$.

1°) Montrer que $a_n \geq 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et que la suite $(a_n)$ est décroissante.

2°) Au moyen d'une intégration par parties donner une relation de récurrence entre $a_n$ et $a_{n+1}$.

3°) Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$$a_n = \frac{n!}{e} \left(e - \sum_{p=0}^{n} \frac{1}{p!}\right)$$

4°) Montrer que l'on a pour tout $n \in \mathbb{N}$

$$\frac{1}{e(n+1)} \leq a_n \leq \frac{1}{n+1}$$

5°) En déduire la nature des séries suivantes : $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$, $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_n}{n}$ et $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n$.

6°) Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ où $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des matrices carrées $2 \times 2$.

1°) Montrer que la matrice $A$ est diagonalisable en donnant ses valeurs propres et vecteurs propres associés. En déduire $A^n$.

2°) Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ avec $n \in \mathbb{N}$ deux suites définies par leurs 1ers termes $u_0$ et $v_0$ et par les relations de récurrence suivantes :

$$\begin{cases} u_{n+1} = u_n + 2v_n \\ v_{n+1} = 2u_n + v_n \end{cases}$$

(a) Montrer que $\begin{pmatrix} u_{n+1} \\ v_{n+1} \end{pmatrix} = A^{n+1} \begin{pmatrix} u_0 \\ v_0 \end{pmatrix}$.

(b) Déterminer les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$, $u_0$ et $v_0$.

On munit $\mathbb{R}^2$ de sa distance euclidienne et on pose

$$F_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2, \; xy = 1\} \quad \text{et} \quad F_2 = \mathbb{R} \times \{0\}$$

1. Montrer que $F_1$ et $F_2$ sont des fermés de $\mathbb{R}^2$ et que $F_1 \cap F_2 = \varnothing$.

2. On considère les suites $(u_n)_{n \geq 1}$ et $(v_n)_{n \geq 1}$ de points de $\mathbb{R}^2$, de termes généraux :

$$u_n = \left(n, \frac{1}{n}\right) \quad \text{et} \quad v_n = (n, 0)$$

Vérifier que pour tout $n \geq 1$, $u_n \in F_1$ et $v_n \in F_2$ et en déduire que la distance entre $F_1$ et $F_2$, $\delta(F_1, F_2) = 0$.