مسابقة دكتوراه 2013 — جامعة وهران 1 أحمد بن بلة — الموضوع 01

Exercice 1. (6 points)

Soit $T(x,y)\in\mathcal D'(\mathbb R^2)$ et $\mathcal F_y(T)$ sa transformée de Fourier partielle en $y$. Prouver que $T$ est une solution de

$$\partial_xT+i\partial_yT=\delta$$

si et seulement si $S=\mathcal F_y(T)$ est solution de

$$\partial_xS-2\pi\eta S=\delta(x)\otimes1_\eta.$$

Trouver une distribution tempérée $S$ solution et calculer sa transformée de Fourier inverse partielle. Montrer que $T(x,y)=\frac1{\pi(x+iy)}$ est une solution.

Exercice 2. (4 points)

1. Montrer que $\mathbb T=\mathbb R/\mathbb Z$ et $S^1=\{z:|z|=1\}$ sont homéomorphes, puis en déduire que $\mathbb T$ est compact et séparé.
2. Pour l'homéomorphisme canonique $\varphi:\mathbb R\to\mathbb T$, montrer que $V_k=\{\varphi(x):|x|<1/(3k)\}$ forme une base de voisinages ouverts de zéro et que $\mathbb T$ est un groupe topologique.
3. Énoncer la dualité de Pontryagin pour les groupes topologiques abéliens, séparés et localement compacts.