مسابقة دكتوراه 2012 — Université Yahia Farès - Médéa — الموضوع 02

On considère le système $Ax = b$ \quad (1)

1. Soit $J : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ définie par $\mathcal{J}(x) = (Ax,x) - 2(b,x)$ avec la matrice $A \in \mathcal{M}_m(\mathbb{R})$ dans le système (1) symétrique. Montrer que $J'(x) = \text{grad}\mathcal{J}(x) = 2(Ax-b)$.

2. Si de plus $A$ dans (1) est symétrique définie positive, montrer que la solution du système (1) est celle qui minimise $\mathcal{J}(y) = (Ay,y) - 2(b,y)$ (c'est-à-dire toute solution de (1) est solution de $\mathcal{J}(x) \le \mathcal{J}(y)$, $\forall y \in \mathbb{R}^m$).

3. Soit la matrice $A$ dans (1) une matrice telle que $(Ax,x) \ge \alpha\|x\|^2$, $\alpha > 0$, $\forall x \in \mathbb{C}^m$. Montrer que le système (1) admet une solution unique et la suite définie par $x^{(k+1)} = x^{(k)} - \theta(Ax^{(k)}-b)$ pour $x^{(0)} \in \mathbb{C}^m$ converge vers la solution $x$ pour $0 < \theta < \dfrac{2\alpha}{\|A\|^2}$.

On considère le problème parabolique :

$$\begin{cases} u_t + u_x - \alpha u_{xx} = 0, & (x,t) \in ]0,1[ \times ]0,T[ \\ u(1,t) = u(0,t) = 0, & t \in ]0,T[ \\ u(x,0) = u_0(x), & x \in ]0,1[ \end{cases} \quad (1)$$

où $u_0 \in C([0,1])$ et $\alpha > 0$ sont donnés. On admettra que la solution de (1) existe et qu'elle est suffisamment régulière pour tous les développements de Taylor qu'on voudra effectuer.

1. Ecrire le schéma d'approximation de (1) par différences finies à pas constant (noté $h$, tel que $h = \frac{1}{N}$), centré en espace (c.à.d. en approchant $u'(jh)$ par $\frac{1}{2h}(u((j+1)h)-u((j-1)h))$ et $u''(jh)$ par $\frac{1}{h^2}(u((j+1)h)-2u(jh)+u((j-1)h))$) et avec le schéma d'Euler explicite à pas constant (noté $k$, avec $k = \frac{T}{M}$) en temps.

2. Montrer que l'erreur de consistance $T_{j,n}$ est majorée par $C(k+h^2)$ où $C$ ne dépend que de la solution exacte de (1).

3. Sous quelle(s) condition(s) sur $k$ et $h$ a-t-on le résultat de stabilité : $\|u^n\|_\infty \le \|u^0\|_\infty$, $\forall n \le M$ où $u^n$ désigne la solution approchée au temps $t_n = nk$ (par définition $\|u^n\|_\infty = \max_{j=1,2,\ldots,N}|u_{j,n}|$).

4. Donner un résultat de convergence pour ce schéma.