مسابقة دكتوراه 2012 — جامعة يحيى فارس - المدية — الموضوع 02

Exercice 1. (8 points)

On considère $Ax=b$ et $J(x)=(Ax,x)-2(b,x)$, avec $A$ symétrique. Montrer que $J'(x)=\nabla J(x)=2(Ax-b)$. Si $A$ est symétrique définie positive, montrer que la solution de $Ax=b$ minimise $J$. Sous l'hypothèse $(Ax,x)\ge\alpha\|x\|^2$, étudier l'unicité et la convergence de l'itération du gradient à pas constant.

Exercice 2. (12 points)

On considère

$$u_t+u_x-\alpha u_{xx}=0,\quad (x,t)\in]0,1[\times]0,T[,$$

avec $u(1,t)=u(0,t)=0$ et $u(x,0)=u_0(x)$. Écrire le schéma d'approximation par différences finies à pas constant, centré en espace et utilisant Euler explicite en temps. Montrer que l'erreur de consistance est majorée par $C(k+h^2)$, donner les conditions de stabilité en norme maximale et un résultat de convergence.