مسابقة دكتوراه 2018 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 01

1. Soit $X$ une variable aléatoire entière positive. Montrer que

$$\sum_{k=0}^{n} k\,\mathbb{P}(X = k) = \sum_{k=0}^{n-1} \mathbb{P}(X > k) - n\,\mathbb{P}(X > n), \quad \forall n \ge 1.$$

Déduire que si $\mathbb{E}(X)$ existe, alors $\mathbb{E}(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \mathbb{P}(X > k)$.

2. Soit $X$ une variable aléatoire absolument continue à valeurs dans $\mathbb{R}$ et de fonction de répartition $F$. Montrer que si $X$ est positive et $\mathbb{E}(X)$ existe, alors

$$\mathbb{E}(X) = \int_0^{+\infty} \big( 1 - F(x) \big)\,dx.$$

Considérons un $n$-échantillon aléatoire simple $X_1, X_2, \ldots, X_n$ d'une variable aléatoire $X$ de fonction de densité

$$f_X(x; \theta) = e^{\theta - x}\, \mathbf{1}_{(x \ge \theta)}.$$

1. Déterminer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire $T_1 = (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n$. En déduire sa moyenne et sa variance.

2. Montrer que $T_1^* = T_1 - 1$ est un estimateur sans biais de $\theta$.

3. Déterminer la loi de $T_2 = \min_{i=1,\ldots,n} X_i$, et calculer sa moyenne et sa variance. Déduire un estimateur sans biais $T_2^*$ (basé sur la statistique $T_2$) de $\theta$.

4. Le paramètre $\theta$, admet-il un résumé exhaustif ?

5. Trouver l'estimateur sans biais de variance minimale pour $\theta$.

6. En utilisant la fonction risque quadratique, comparer $T_1^*$ à l'estimateur $T_2^*$.

Un réseau de communication transmet un nombre en système binaire (0 ou 1). En traversant le réseau il y a une probabilité $q$ pour que le chiffre soit transmis correctement à l'étape suivante. Soient :

$X_0$ : chiffre transmis à l'entrée du réseau ;

$X_n$ : chiffre enregistré à la $n^{\text{ième}}$ transmission, $n \ge 1$.

1. Montrer que $(X_n)_{n \ge 0}$ est une chaîne de Markov et donner sa matrice des probabilités de transition.