مسابقة دكتوراه 2000 — Source inconnue — الموضوع 11

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المدة: 3سا

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التمرين 1

تمرين 1

#topologie#compactification d’Alexandroff#compacité

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∪

{∞}

\mathcal{T}

X^{\infty}

U

X^{\infty}

(i) $U\in\mathcal{T}_X$ dans le cas où $U\subset X$ ;

(ii) $X^{\infty}\setminus U$ est un compact de $X$ lorsque $\infty\in U$ .

Montrer que $\mathcal{T}$ est bien une topologie sur $X^{\infty}$ .
Montrer que

\overline{X}=X^{\infty}.

Montrer que $X^{\infty}$ est compact.