مسابقة دكتوراه 2021 — Source inconnue

التمرين 1

تمرين 1

#distributions#espace de Schwartz#topologies

(7 points)

Partie 1

Donner les définitions des espaces suivants : $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ et $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ .
Donner la définition d'une distribution tempérée sur $\mathbb{R}$ .

Partie 2

تمرين 2

#systèmes dynamiques discrets#cycles périodiques#instabilité

(6 points) Soient les fonctions réelles

g_1(x)=2x+1,\qquad g_2(x)=-2x+4,

et on définit le système à temps discret $S_g$ par $g=\min(g_1,g_2)$ et, pour tout ,

x_{n+1}=g(x_n),\qquad x_0\in\mathbb{R}.

Déterminer les équilibres du système.
Montrer que pour $x\in I=\left[-\dfrac18,\dfrac5{16}\right]$ , on a , en notant .

تمرين 3

#systèmes dynamiques#stabilité#bifurcation de Hopf

(5 points) Soit le système dynamique suivant dans $\mathbb{R}^2$ :

\begin{cases} \dfrac{dx}{dt}=ax^3y-(b+1)x+1,\\ \dfrac{dy}{dt}=bx-ax^2y, \end{cases}\qquad (2)

avec $a\in\mathbb{R}_+^*$ et $b\in\mathbb{R}$ deux paramètres.

Trouver les points d'équilibres et examiner leurs stabilités.
Fixons $a$ et faisons varier $b$ . Montrer qu'il existe une valeur $b_0$ pour laquelle le système $(2)$ admet une bifurcation de Hopf.