مسابقة دكتوراه 2021 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 12

مسابقة تخصص · Systèmes Dynamiques · المدة: 3سا

JSON import — Université Badji Mokhtar - Annaba 2021 — Badji Mokhtar-Annaba University — Faculty of Science. Concours de Doctorat 2020/2021, le 06 mars 2021.

التمرين 1

تمرين 1

#systèmes dynamiques#points d'équilibre#solutions périodiques

(3,5 pts) Soit le système :

\begin{cases} \dfrac{dx_1}{dt} = x_2 \\ \dfrac{dx_2}{dt} = -x_1 \\ \dfrac{dx_3}{dt} = 1 - (x_1^2 + x_2^2) \end{cases}

التمرين 2

تمرين 2

#systèmes dynamiques#cycles limites

(3,5 pts) Soit le système :

\begin{cases} \dot{x} = -y + x\sin\sqrt{x^2 + y^2} \\ \dot{y} = x + y\sin\sqrt{x^2 + y^2} \end{cases}

التمرين 3

تمرين 3

#systèmes dynamiques#fonction de Dulac#solutions périodiques

(3 pts) En utilisant la fonction de Dulac $\rho = e^{-2x}$ , montrer que le système suivant, n'a pas de solution périodique.

{\begin{cases} \dot{x} = y \\ \overset{}{} \end{cases}

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⎨

⎧

dtdx1=x2dtdx2=−x1dtdx3=1−(x12+x

Montrer que le système n'a pas de point d'équilibre.
Mais possède des solutions périodiques.

−

sin

x2+y2

y˙=x+ysinx2+y2

Chercher les cycles limites du système.
Quels sont les cycles limites du système qui sont stables ?

y

˙

=

-

x

-

y

+

x^{2}

+

y^{2}

\begin{cases} \dot{x} = y \\ \dot{y} = -x - y + x^2 + y^2 \end{cases}

{\overset{x}{˙} = y \overset{y}{˙} = - x - y + x^{2} + y^{2}

)