مسابقة دكتوراه 2021 — Université Badji Mokhtar - Annaba

التمرين 2

تمرين 2

#exponentielle de matrices#commutateur

(6 pts) $A, B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , on définit leur commutateur $[A,B] = AB - BA$ .

Montrer que, si $A, C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ commutent (i.e. $AC = CA$ ) alors pour tout les matrices et commutent.

\phi(t) = e^{tA} e^{tB} e^{-t(A+B)}.

Montrer que, $\forall t \in \mathbb{R}$ ,

\phi'(t)\phi^{-1}(t) = e^{tA}\left(A - e^{tB} A e^{-tB}\right) e^{-tA}.

Supposons que $A$ et $B$ commutent avec $[A,B]$ . a) En dérivant l'expression $(A - e^{tB} A e^{-tB})$ , montrer que

A - e^{tB} A e^{-tB} = t[A,B].

b) En déduire que

\phi'(t)\phi^{-1}(t) = t[A,B].

c) Montrer qu'alors

e^{A} e^{B} = e^{A + B + \frac{1}{2}[A,B]}.