مسابقة دكتوراه 2021 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 11

(10 Pts.) On considère le système d'équations linéaires suivant :

$$(I_1) \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \\ -2x_1 + x_2 = 0 \\ 3x_1 + 2x_2 + x_3 = 1 \end{cases}$$

1. Écrire ce système sous forme matricielle $AX = b$, et prouver qu'il admet une solution unique.
2. En utilisant la décomposition $A = D - E - F$, étudier la convergence des méthodes de Jacobi et Gauss–Seidel.
3. On considère le système suivant :

$$(I_2) \begin{cases} x_1 = \frac{1}{2}x_2 \\ x_2 = -\frac{3}{2}x_1 - \frac{1}{2}x_3 + \frac{1}{2} \\ x_3 = -\frac{5}{6}x_2 + \frac{1}{3} \end{cases}$$

(a) Justifier que les deux systèmes $(I_1)$ et $(I_2)$ sont équivalents. (b) Prouver que le système itératif $X = TX + V$ du système converge vers le point fixe noté vérifiant . (c) Étant donné une matrice carrée quelconque de lignes. Montrer que, pour tout

$$\|CX\|_{\infty} \le |||C|||\cdot\|X\|_{\infty}, \qquad (1)$$

avec

$$\|V\|_{\infty} = \max_{i=1,\ldots,n}|v_i|, \qquad \forall V = (v_1, \ldots, v_n)^T \in \mathbb{R}^n \qquad (2)$$

et

$$|||C||| = \max_{i=1,\ldots,n}\left(\sum_{j=1}^{n}|c_{ij}|\right). \qquad (3)$$

(d) En utilisant (1), montrer que l'itération $X^{k+1} = TX^k + V$ vérifie

$$\|X^k - L\|_{\infty} \le \frac{|||T|||^k}{1 - |||T|||}\|X^1 - X^0\|_{\infty}. \qquad (4)$$

(e) En partant de $X^0 = (0, 1, 2)^T$, calculer le nombre d'itérations nécessaires pour avoir une approximation pour le système $(I_1)$ à près.