مسابقة دكتوراه 2022 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 11

Considérons le problème de second ordre :

$$-u''(x) = f(x), \quad x \in (0,1) \quad \text{et} \quad u(0) = u(1) = 0. \qquad \text{(ED)}$$

On suppose que $u \in C^2[0,1]$ et $f \in C[0,1]$. Le maillage est donné par deux ensembles de points

$$\{x_i,\ i = 0, \ldots, N+1\} \quad \text{et} \quad \{x_{i+\frac{1}{2}},\ i = 0, \ldots, N\},$$

où $N \in \mathbb{N}^*$ est donné et

$$x_0 = x_{\frac{1}{2}} = 0 < x_1 < x_{\frac{3}{2}} < \cdots < x_{i-\frac{1}{2}} < x_i < x_{i+\frac{1}{2}} < x_{i+1} < \cdots < x_N < x_{N+\frac{1}{2}} = x_{N+1} = 1.$$

On pose $h_i = x_{i+\frac{1}{2}} - x_{i-\frac{1}{2}}$, , et .

1. Justifier que toute solution du problème (ED) doit vérifier

$$u'(x_{i-\frac{1}{2}}) - u'(x_{i+\frac{1}{2}}) = \int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}} f(x)\,dx. \qquad \text{(FLU)}$$

2. Posons $R_{i+\frac{1}{2}} = \dfrac{u(x_{i+1}) - u(x_i)}{h_{i+\frac{1}{2}}} - u'(x_{i+\frac{1}{2}})$. Montrer que où est une constante indépendante de .

$$\sum_{i=1}^{N} u_i\left(-\frac{u_{i+1} - u_i}{h_{i+\frac{1}{2}}} + \frac{u_i - u_{i-1}}{h_{i-\frac{1}{2}}}\right) = \sum_{i=0}^{N} \frac{(u_{i+1} - u_i)^2}{h_{i+\frac{1}{2}}}, \qquad \text{(ID)}$$

avec $u_0 = u_{N+1} = 0$. 4. Comme approximation du problème (ED), on définit le schéma suivant :

$$-\frac{u_{i+1} - u_i}{h_{i+\frac{1}{2}}} + \frac{u_i - u_{i-1}}{h_{i-\frac{1}{2}}} = \int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}} f(x)\,dx, \quad i = 1, \ldots, N \quad \text{et} \quad u_0 = u_{N+1} = 0. \qquad \text{(SC)}$$

En utilisant les questions précédentes, montrer que le schéma (SC) admet une solution unique et écrire une équation pour l'erreur $e_i = u(x_i) - u_i$.

On note $A_n$ la matrice symétrique réelle d'ordre $n \ge 2$, définie par $A_n = (a_{ij})_{1 \le i,j \le n}$, avec

$$\begin{cases} a_{ij} = n - j + 1 & \text{pour } 1 \le i \le j \le n \\ a_{ij} = a_{ji} & \text{pour } 1 \le j < i \le n \end{cases} \qquad \text{(MATA)}$$

1. Calculer le déterminant de la matrice $A_n$.
2. Démontrer que la matrice $B_n$ donnée par

$$B_n=(\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& \cdots & 0\\ -1& 2& -1& \ddots & \mathrm{⋮}\\ 0& \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ \mathrm{⋮}& \ddots & -1& 2& -1\\ 0\end{array}$$

est bien l'inverse de la matrice $A_n$. 3. Donner la décomposition $LR$ de la matrice $A_n$.