مسابقة دكتوراه 2022 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 03

a) $V = \{ v \in H^1(0,1) : v(0) = 0 \}$. En multipliant par $v \in V$ et en intégrant par parties, avec $(1+x)u'(x)\big|_{x=1} = 2u'(1) = 2(1 - u(1))$ :

$$a(u,v) = \int_0^1 (1+x) u'v' \, dx + 2u(1)v(1), \qquad L(v) = \int_0^1 x v \, dx + 2 v(1),$$

et $(P)$ devient : trouver $u \in V$ tel que $a(u,v) = L(v)$ pour tout $$.

b) Pour $v \in V$ : $v(x) = \int_0^x v'(t) dt$, donc par Cauchy-Schwarz . En intégrant sur : ( convient ; plus finement ).

c) $a$ est bilinéaire continue ($|a(u,v)| \le 2\|u\|_{H^1}\|v\|_{H^1} + 2|u(1)||v(1)| \le C\|u\|_{H^1}\|v\|_{H^1}$ par trace continue) et coercive :

$$a(v,v) \ge \int_0^1 |v'|^2 dx \ge \frac{1}{1 + C_P^2} \|v\|^2_{H^1},$$

grâce à b). $L$ est linéaire continue. Le théorème de Lax-Milgram donne l'existence et l'unicité.

d) Pour $h = \tfrac{1}{3}$ : nœuds intérieurs et de bord libres $x_1 = \tfrac{1}{3}$, , , fonctions chapeaux . Sur chaque élément, donne les rigidités élémentaires , , . Le système s'écrit :

$$\begin{pmatrix} 8 & -4{,}5 & 0 \\ -4{,}5 & 10 & -5{,}5 \\ 0 & -5{,}5 & 5{,}5 + 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/9 \\ 2/9 \\ 1/6 + 2 \end{pmatrix},$$

où le terme $+2$ dans $K_{33}$ et $F_3$ provient de $2u(1$ et , et (évalué par quadrature : , , ).