مسابقة دكتوراه 2021 — Source inconnue — الموضوع 01

1) a) Pour tout $x \in \mathbb{R}$, comme $u$ est à support compact :

$$u(x) = \int_{-\infty}^{x} u'(t)\, dt, \qquad \text{donc} \quad |u(x)| \leq \int_{\mathbb{R}} |u'(t)|\, dt = \|u'\|_{L^1(\mathbb{R})},$$

d'où $\|u\|_{L^{\infty}} \leq \|u'\|_{L^1}$.

b) Supposons l'inégalité vraie au rang $N$ et montrons-la au rang $N+1$. Écrivons $x = (x_1, y)$ avec . L'inégalité de Hölder donne :

$$\int_{\mathbb{R}^N} |u(x_1, y)|^{\frac{N+1}{N}}\, dy \leq \left( \int_{\mathbb{R}^N} |u(x_1, y)|^{\frac{N}{N-1}}\, dy \right)^{\frac{N-1}{N}} \left( \int_{\mathbb{R}^N} |u(x_1, y)|\, dy \right)^{\frac{1}{N}}. \quad (*)$$

Pour le premier facteur, l'hypothèse de récurrence appliquée à $y \mapsto u(x_1, y)$ donne :

$$\left( \int_{\mathbb{R}^N} |u(x_1, y)|^{\frac{N}{N-1}}\, dy \right)^{\frac{N-1}{N}} \leq \prod_{i=2}^{N+1} \left( \int_{\mathbb{R}^N} \left| \frac{\partial u}{\partial x_i}(x_1, y) \right| dy \right)^{\frac{1}{N}}.$$

Pour le second facteur, le cas $N = 1$ appliqué à $z \mapsto u(z, y)$ donne $\mathrm{\mid }u(x_1,y)\mathrm{\mid }\le {\int }_{\mathbb{R}}\mid \frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }{x}_1}(z,y)\mid$, donc

$$\int_{\mathbb{R}^N} |u(x_1, y)|\, dy \leq \left\| \frac{\partial u}{\partial x_1} \right\|_{L^1(\mathbb{R}^{N+1})}.$$

On reporte dans $(*)$, on intègre en $x_1$ sur $\mathbb{R}$, et on applique l'inégalité de Hölder généralisée au produit de $N$ fonctions de $L^N(\mathbb{R})$ (les fonctions ) ; en élevant à la puissance , on obtient :

$$\|u\|_{L^{\frac{N+1}{N}}(\mathbb{R}^{N+1})} \leq \prod_{i=1}^{N+1} \left\| \frac{\partial u}{\partial x_i} \right\|_{L^1(\mathbb{R}^{N+1})}^{\frac{1}{N+1}},$$

ce qui achève la récurrence (le cas initial $N = 1$ étant la question a/).

c) La moyenne géométrique étant inférieure à la moyenne arithmétique :

$$\|u\|_{L^{N/(N-1)}} \leq \prod_{i=1}^{N} \left\| \frac{\partial u}{\partial x_i} \right\|_{L^1}^{1/N} \leq \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left\| \frac{\partial u}{\partial x_i} \right\|_{L^1} \leq \left\| |\nabla u| \right\|_{L^1},$$

car $\left| \frac{\partial u}{\partial x_i} \right| \leq |\nabla u|$ pour chaque .

d) Pour $p = 1$, c'est la question c/ avec $C_{N,1} = 1$. Pour $1 < p < N$, posons

$$\alpha = \frac{p(N-1)}{N-p} \quad \left( \text{de sorte que } \alpha \cdot \frac{N}{N-1} = p^* \right),$$

et appliquons c/ à $v = |u|^{\alpha - 1} u \in C_c^1(\mathbb{R}^N)$ :

$$\left( \int_{\mathbb{R}^N} |u|^{p^*}\, dx \right)^{\frac{N-1}{N}} = \|v\|_{L^{N/(N-1)}} \leq \left\| |\nabla v| \right\|_{L^1} = \alpha \left\| |u|^{\alpha-1} |\nabla u| \right\|_{L^1}.$$

L'inégalité de Hölder avec $q = \frac{p}{p-1}$ donne, puisque $(\alpha - 1) q = p^*$ :

$$\left\| |u|^{\alpha-1} |\nabla u| \right\|_{L^1} \leq \left( \int_{\mathbb{R}^N} |u|^{p^*}\, dx \right)^{\frac{p-1}{p}} \left\| |\nabla u| \right\|_{L^p},$$

d'où

$$\|u\|_{L^{p^*}}^{p^* \frac{N-1}{N}} \leq \alpha\, \|u\|_{L^{p^*}}^{p^* \frac{p-1}{p}} \left\| |\nabla u| \right\|_{L^p}.$$

Comme $p^* \left( \frac{N-1}{N} - \frac{p-1}{p} \right) = p^* \cdot \frac{N - p}{Np} = 1$, on obtient (en simplifiant, ) :

$$\|u\|_{L^{p^*}} \leq C_{N,p} \left\| |\nabla u| \right\|_{L^p}, \qquad C_{N,p} = \alpha = \frac{p(N-1)}{N-p}.$$

2) Soit $u \in W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$. Par densité de $C_c^1(\mathbb{R}^N)$ dans , il existe avec dans . L'inégalité de d/ appliquée à montre que est de Cauchy dans , donc converge vers une limite qui coïncide avec (unicité de la limite dans ). En passant à la limite :

$$\|u\|_{L^{p^*}} \leq C_{N,p} \left\| |\nabla u| \right\|_{L^p} \leq C_{N,p} \|u\|_{W^{1,p}}.$$

Pour l'injection dans $L^q$, $q \in [p, p^*]$ : on a $\mathrm{\parallel }u{\mathrm{\parallel }}_{L^p}\le \mathrm{\parallel }u{\mathrm{\parallel }}_{W^{}}$ (cas ) ; pour , l'inégalité d'interpolation avec , , donne

$$\|u\|_{L^q} \leq \|u\|_{L^p}^{\theta}\, \|u\|_{L^{p^*}}^{1-\theta} \leq C\, \|u\|_{W^{1,p}},$$

d'où l'injection continue $W^{1,p}(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow L^q(\mathbb{R}^N)$ pour tout .