مسابقة دكتوراه 2019 — Source inconnue — الموضوع 01

1) Donner l'expression du $\Delta u$ en coordonnées hypersphériques.

2) En posant $N = 2$, alors pour $t \geq 0$, soit le problème suivant :

Supposons encore que la fonction $R(t)$ vérifie le problème suivant :

a) Déterminer la solution $u$ du problème $(P_1)$.

b) En utilisant cette solution $u$, trouver la fonction $R$ vérifiant le problème $(P_2)$.

c) En déduire $\lim_{t \to +\infty} R(t)$.

et de même pour $|\nabla w|^{2\delta}$. Donc

soit $h(w, \nabla w) \in L^2(\Omega)$.

On pose alors sur $H_0^1(\Omega)$ (muni de la norme $\|v\| = \|\nabla v\|_{L^2}$) :

$A$ est bilinéaire, continue ($|A(u,v)| \leq \beta \|u\| \|v\|$) et coercive ($A(u,u) \geq \alpha \|u\|^2$) ; $L$ est linéaire continue (Cauchy-Schwarz et Poincaré, car $g$ et $h(w, \nabla w)$ sont dans $L^2$). Le théorème de Lax-Milgram fournit un unique $u \in H_0^1(\Omega)$ solution de $(1)$.

2- En prenant $v = u$ dans $(1)$ et en utilisant la coercivité, Cauchy-Schwarz et l'inégalité de Poincaré ($\|u\|_{L^2} \leq C_P \|u\|$) :

Or d'après 1-, $\| |w|^{\delta} \|_{L^2} \leq |\Omega|^{(1-\delta)/2} \|w\|_{L^2}^{\delta} \leq C(\Omega, \delta) \|w\|^{\delta}$, et de même pour le gradient. On en déduit l'existence de $C_2 > 0$ (ne dépendant que de $\alpha$, $C_1$, $C_P$, $|\Omega|$, $\delta$, $\|g\|_{L^2}$) telle que

Pour le choix de $R$ : puisque $\delta < 1$, il suffit de prendre $R \geq \max\left( 2C_2,\, (2C_2)^{1/(1-\delta)} \right)$ ; alors $\|w\| \leq R$ implique

(La boule $\bar{B}_R$ de $H_0^1(\Omega)$ est donc stable par $T$.)

3- a/ Raisonnons par l'absurde : supposons qu'il existe $\varepsilon > 0$ et une sous-suite (encore notée $(f_n)$) telle que $\|f_n - f\|_{L^2} \geq \varepsilon$ pour tout $n$. Comme $w_n \to w$ dans $H_0^1(\Omega)$, on a $w_n \to w$ et $\nabla w_n \to \nabla w$ dans $L^2$ ; par la réciproque (partielle) du théorème de convergence dominée, on peut extraire une sous-suite telle que $w_n \to w$ et $\nabla w_n \to \nabla w$ presque partout dans $\Omega$, avec dominations $|w_n| \leq H$ et $|\nabla w_n| \leq G$ où $H, G \in L^2(\Omega)$.

Par continuité de $h$, $f_n = h(w_n, \nabla w_n) \to h(w, \nabla w) = f$ p.p., et

(d'après 1-). Le théorème de convergence dominée donne $\|f_n - f\|_{L^2} \to 0$ pour cette sous-suite : contradiction. Donc $f_n \to f$ fortement dans $L^2(\Omega)$.

b/ D'après 2-, la suite $(u_n)$ est bornée dans $H_0^1(\Omega)$ (car $(w_n)$ convergente donc bornée). Par l'absurde : s'il existe $\psi \in H^{-1}$, $\varepsilon > 0$ et une sous-suite avec $|\langle \psi, u_n - u \rangle| \geq \varepsilon$, on extrait (compacité faible des bornés d'un Hilbert) $u_n \rightharpoonup \bar{u}$ faiblement dans $H_0^1(\Omega)$.

Passons à la limite dans $(1)$ écrit pour $w_n$ : pour $v \in H_0^1(\Omega)$ fixé, $a(w_n) \to a(w)$ p.p. (sous-suite, continuité de $a$) avec $|a(w_n)| \leq \beta$, donc $a(w_n) \nabla v \to a(w) \nabla v$ fortement dans $(L^2)^N$ (convergence dominée) ; combiné à $\nabla u_n \rightharpoonup \nabla \bar{u}$ faiblement, le produit converge :

et $\int f_n v \to \int f v$ (question a/). Donc $\bar{u}$ vérifie $(1)$ pour $w$, soit $\bar{u} = T(w) = u$ par unicité : contradiction. Donc $u_n \rightharpoonup u$ faiblement dans $H_0^1(\Omega)$.

c/ En prenant $v = u_n$ dans $(1)$ écrit pour $w_n$ :

Par le théorème de Rellich, $u_n \to u$ fortement dans $L^2(\Omega)$ ; avec $f_n \to f$ dans $L^2$, le membre de droite tend vers $\int g u - \int f u = \int_{\Omega} a(w) |\nabla u|^2 dx$ (en prenant $v = u$ dans $(1)$ pour $w$). D'où la convergence annoncée.

Enfin, par coercivité :

En développant : le terme $\int a(w_n) |\nabla u_n|^2 \to \int a(w) |\nabla u|^2$ ; les termes croisés $\int a(w_n) \nabla u_n \cdot \nabla u \to \int a(w) |\nabla u|^2$ (car $a(w_n) \nabla u \to a(w) \nabla u$ fortement dans $(L^2)^N$ et $\nabla u_n \rightharpoonup \nabla u$ faiblement) ; et $\int a(w_n) |\nabla u|^2 \to \int a(w) |\nabla u|^2$ (convergence dominée). La somme tend donc vers $0$, d'où $u_n \to u$ fortement dans $H_0^1(\Omega)$. $\blacksquare$